pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

66 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Theorem 3.2 (Existenz einer Lösung von RCSP).
Die Menge der zulässigen Knoten t ∈ R l : Ct − h ≥ 0 sei nichtleer. Für feste p, r ∈
{0, . . . , q}, 0 ≤ q < k gelte:
(V 1) Die Knoten erfüllen die Bedingung τj < τj+k−q (j = q + 1, . . . , n).
(V 2) Die Regularitätsbedingung m ≥ r und µ > 0 ist erfüllt.
(V 4) Die Nebenbedingungen L ≤ Dp(t)α ≤ U erfüllen die strikte Konsistenzbedingung
L < U.
Dann besitzt das reduzierte restringierte Glättungsproblem RCSP (3.19), (3.20) eine Lösung
t ∗ .
Beweis. Voraussetzung (V1) sichert die Existenz der Matrizen für alle zulässigen Knoten.
Darüberhinaus sind die Matrixfunktionen B(.), Sr(.) und Dp(.) stetige Funktionen der (freien)
Knoten. Wegen Lemma 2.5 sichert (V2) die Vollrangeigenschaft der Systemmatrix Bµ
unabhängig von der Position der Knoten, d. h. die Hesse-Matrix von Subproblem (A) ist
positiv definit. Schließlich liefert die strikte Konsistenzbedingung (V4) die Exsitenz eines
Parameters α 0 , so daß L < Dp(t)α 0 < U, d. h. die Slater-Bedingung für die formerhaltenden
Nebenbedingungen ist erfüllt, vgl. Bemerkung 3.1. Mit
A(t) :=
G(t) :=
B(t)
√ µSr(t)
Dp(t)
−Dp(t)
T
T
ist Subproblem (A) äquivalent zu
B(t)
√ µSr(t)
, b(t) := −
B(t)
√ µSr(t)
, g 0
L
:= −
−U
b(t) T α + 1
2 αT A(t)α → min
α∈R n
,
bei G(t) T α + g 0 ≥ 0.
y
0
Wenn wir den Parameter t durch t + δt ersetzen, erhalten wir ein gestörtes quadratisches
Optimierungsproblem. Auf Grund der Stetigkeit der Matrixfunktionen B(.), Sr(.) und Dp(.)
sind die Änderungen von b, A, G und g 0 klein bei kleinen Störungen des Parameters.
Wenden wir nun den Störungssatz für definite quadratische Optimierungsprobleme [Dan73]
an, so erhalten wir die Lipschitz-stetige Änderung der Lösung α(.) von Subproblem (A), d. h.
das reduzierte Funktional f ist stetig. Wir können daher wiederum den Satz von Weierstraß
auf das stetige Funktional f über der abgeschlossenen (wegen Ct−h ≥ 0) und beschränkten
(wegen a ≤ τ p(1) und τ p(l) ≤ b) Menge der zulässsigen Knoten {t ∈ R l : Ct − h ≥ 0}
anwenden.
Man beachte, daß sich die Voraussetzungen des Satzes in natürlicher Weise global für
alle Knoten erfüllen lassen.
Kommen wir nun zur angekündigten Äquivalenz der Lösungen von vollständigem und
reduziertem Glättungsproblem:
Theorem 3.3 (Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem).
Sei t ∗ eine zulässige Knotenfolge, t ∗ ∈ t ∈ R l : Ct − h ≥ 0 . Für feste p, r ∈ {0, . . . , q},
0 ≤ q < k gelte:
,