pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.3 Separable Quadratmittelprobleme 23
unendlich viele Lösungen. Für jedes feste t ∈ R l ist die eindeutige Minimum-Norm-Lösung
gegeben durch α = αopt(t) := B(t) + y. Ersetzen wir die Variable α im Ausgangsproblem
(2.17) durch ihren Optimalwert αopt(t), so erhalten wir folgendes reduzierte Problem:
Reduziertes Problem
(2.22) min f(t) := 1
2
I − B(t)B(t) + y 2 = 1
2 F(t)2 : t ∈ R l
Da P ⊥ B := I − B(t)B(t)+ der orthogonale Projektor auf im B(t) ⊥ ist, wird das Funktional
f auch als variable projection functional und die beschriebene Reduktionstechnik als
Verfahren der variablen Projektion bezeichnet, siehe [GP73].
Das reduzierte Problem (2.22) enthält nur noch die l nichtlinear auftretenden Parameter
t, ist dafür aber von einer größeren Komplexität als das Ausgangsproblem. Für die
Anwendung des Verfahrens der variablen Projektion bleibt die Zulässigkeit der Reduktion
zu zeigen. Außerdem muß für die Anwendung von Gauß-Newton-ähnlichen Verfahren die
Jacobi-Matrix F ′ berechnet werden.
2.3.2 Der Übergang zum reduzierten Funktional
Das folgende Theorem von Golub/Pereyra [GP73] rechtfertigt den Übergang vom Ausgangsfunktional
f(α, t) zum reduzierten Funktional f(t). Da wir vom reduzierten Funktional
i. allg. nur kritische Punkte und keine globalen Minimalstellen berechnen können, ist
besonders die Beziehung zwischen stationären Punkten der beiden Probleme interessant.
Theorem 2.1 (Golub/Pereyra [GP73, Theorem 2.1]).
Seien f(α, t) und f(t) wie oben definiert. Wir nehmen an, daß B(t) in der offenen Menge
Ω ⊂ R l konstanten Rang r ≤ min(m, n) hat.
(a) Wenn t ∗ ein kritischer Punkt (oder eine globale Minimumstelle in Ω) von f(t) ist und
(2.23) α ∗ = B(t ∗ ) + y,
so ist (α ∗ , t ∗ ) ein kritischer Punkt (oder eine globale Minimumstelle für t ∈ Ω) von
f(α, t), und es gilt f(t ∗ ) = f(α ∗ , t ∗ ).
(b) Wenn (α ∗ , t ∗ ) eine globale Minimumstelle von f(α, t) für t ∈ Ω ist, so ist t ∗ eine
globale Minimumstelle von f(t) in Ω, und es gilt f(t ∗ ) = f(α ∗ , t ∗ ). Wenn es ein
eindeutiges α ∗ unter den Minimumstellen von f(α, t) gibt, so muß α ∗ die Beziehung
(2.23) erfüllen.
Da die Moore-Penrose-Inverse B + bei rangerhöhenden Störungen nicht stetig ist (siehe
z.B. [KS88]), ist die Forderung nach einem lokal konstanten Rang der Matrix B natürlich.
Wir machen daher im weiteren die Voraussetzung:
Die Matrix B(t) habe lokal konstanten Rang r ≤ min(m, n) für alle t ∈ Ω ⊂ R l ,
wobei Ω eine offene Menge ist, welche die gesuchte Lösung enthält.