pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

Existieren Lösungen dieses Problems, so erhält man erneut Splines der Ordnung k = 2r,
allerdings mit zusätzlichen Knoten zwischen den Datenstellen {xi}, siehe etwa [OO88],
[FOP91] und [AE95] für nichtnegative Splines und Splines mit Hindernissen (p = 0), [Hor78]
und [AE91] für monotone Splines (p = 1) sowie [AE87] für den konvexen Fall (p = 2).
Allgemeine Charakterisierungsaussagen finden sich in [MU88], [MU91] und [MSSW85]. Im
Fall der Approximation mit Nebenbedingungen betrachten [EA88] das Variationsproblem
min ϕ(s) + µρ(s) : s (p) (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], s ∈ W r
2 [a, b] .
Die oben beschriebenen Variationszugänge haben Gemeinsamkeiten, die sich aber im
Rahmen unserer Zielstellungen als Nachteile erweisen:
• Die Ordnung k = 2r des Splines ist durch die Ordnung r im Glättungsterm fest
vorgegeben.
• In Regionen, in denen keine Nebenbedingungen aktiv sind, werden alle Datenstellen
{xi} als Knoten des Splines benötigt, d. h. es ist keine Datenreduktion möglich. Im
praktisch relevanten Fall großer Datenmengen kann man aber oft schon mit wenigen
Parametern die Funktion innerhalb des Fehlerniveaus der Daten beschreiben.
• Im restringierten Fall hat die Lösung im allgemeinen zusätzliche Knoten zwischen den
Datenstellen {xi}, deren Anzahl und Lage a priori nicht bekannt ist.
Daher favorisieren wir den sog. direkten Zugang zur Splinetheorie und beschränken uns von
vornherein auf den endlich-dimensionalen Raum Sk,τ der polynomialen Splines der Ordnung
k zu einer gegebenen Knotenfolge τ = {τj} mit
τ1 = · · · = τk = a < τk+1 ≤ · · · ≤ τn < b = τn+1 = · · · = τn+k
und m ≥ n. Im allgemeinen ist die Dimension n des Raums Sk,τ sehr viel kleiner als die
Anzahl m der Datenpunkte, d. h. man erreicht durch den direkten Zugang eine Datenreduktion.
Außerdem ist damit ein gewisser Regularisierungseffekt verbunden. Die Parameter
des Splines werden so bestimmt, daß das Schoenberg-Funktional (1.4) minimiert wird. Als
Basis für den Raum Sk,τ verwenden wir die bekannten polynomialen B-Splines. Ein Spline
s ∈ Sk,τ ist dann durch Splineknoten τ und Koeffizienten α eindeutig bestimmt.
Die Lage der Knoten τ ist für die Approximationsgüte von großer Bedeutung. Es ist
wohlbekannt, daß man die Approximationsgüte, insbesondere bei nichtglatten Funktionen,
verbessern kann, wenn man die Knoten als freie Parameter betrachtet, siehe [Sch81, Kapitel
7].
Gegenstand dieser Arbeit ist daher die Minimierung des Schoenberg-Funktionals (1.4)
bei vorgegebener Dimension n bezüglich der Koeffizienten α und einer Teilmenge t der Knoten
τ , den sog. freien Knoten, unter Beachtung eventueller Nebenbedingungen an Ableitungen
des Splines. Das resultierende Optimierungsproblem ist ein nichtlineares Quadratmittelproblem
in den freien Knoten und den Koeffizienten. Bei der Verwendung von B-Splines
haben die auftretenden Matrizen Bandstruktur. Es zeigt sich, daß Standardprogramme der
nichtlinearen Optimierung für die Berechnung von Splines mit freien Knoten ohne weitere
Modifikationen versagen oder sehr ineffizient sind. Unser Ziel ist die Entwicklung spezieller
Verfahren für diese Problemstellung.
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