pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

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104 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines Approximationsverfahren Approximation Interpolation Typ der Optimierungsprobleme nichtlinear quadratisch Nebenbedingungen an Ableitungen unrestringiert Monotonie Rechenzeit [s] 14.07 218.61 min sy −8 0 max sy 86 905 Tabelle 4.3: Vergleich der Verfahren von <strong>Schütze</strong> und Walther nes mit freien Knoten i. allg. eine sehr gute Qualität haben, eignen sich diese Splines gut als Startverfahren für fit-and-modify-Methoden der restringierten Interpolation. Abbildung 4.9 zeigt einen monotonen interpolierenden Spline, welcher mit Methoden aus [SW97] berechnet wurde. Tabelle 4.3 vergleicht die beiden Verfahren am Beispiel der EOS Aluminium Daten. Von einer Verbindung der beiden Verfahren werden wesentliche Vorteile erwartet, da die unrestringierten Ausgangssplines fast optimal sind (bessere Qualität der Splines) und ein guter Startpunkt für das Iterationsverfahren bekannt ist (kürzere Rechenzeit). 0 −5 −10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 −45 0 −0.5 −1 x −1.5 −2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abbildung 4.9: EOS Aluminium Daten: Verfahren von Walther, monotoner Spline (fit-and-modify) y
Kapitel 5 Zusammenfassung und Ausblick In dieser Dissertation werden Verfahren zur diskreten Quadratmittelapproximation durch Splines mit freien Knoten vorgestellt. Wir wählen dabei den direkten Zugang zur Splinetheorie und verwenden a priori den Raum Sk,τ der polynomialen Splines der Ordnung k zu den Knoten τ . Als Basis für diesen Raum benutzen wir die bekannten polynomialen B- Splines. Diese Wahl gestattet eine stabile Berechnung des Splines und liefert Matrizen mit Bandstruktur für die entsprechenden Optimierungsprobleme. Die Parameter des Splines, d. h. die Koeffizienten und (freien) Knoten, werden nun so bestimmt, daß das Schoenberg- Funktional minimal wird. Durch die Betrachtung von Splines mit freien Knoten erreicht man insbesondere bei Daten von nichtglatten Funktionen eine wesentliche Verbesserung der Approximation. In Kapitel 2 untersuchen wir zunächst die Glättung durch univariate Splines mit freien Knoten ohne Nebenbedingungen an Ableitungen. Nachdem das Schoenberg-Funktional in Abhängigkeit von Koeffizienten und freien Knoten ausgedrückt wurde, formulieren wir Anordnungsnebenbedingungen an die Knoten, welche das Zusammenfallen der Knoten verhindern. Unter Benutzung von Ergebnissen der Theorie separabler Quadratmittelprobleme wird ein reduziertes Problem in den freien Knoten entwickelt. Durch Verwendung des Schoenberg- Funktionals an Stelle des Quadratmittelfehlers kann die Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem unabhängig von der Lage der Knoten gezeigt werden. Das reduzierte Problem wird schließlich mit einem verallgemeinerten Gauß-Newton-Verfahren gelöst, wobei der effizienten Berechnung der Residuumsfunktion und der Jacobi-Matrix besondere Bedeutung zukommt, insbesondere im Hinblick auf die Ausnutzung der Bandstruktur. Der Algorithmus zur Optimierung der Lage der Knoten wird mit einem Datenreduktionsalgorithmus kombiniert. Kapitel 3 liefert den Hauptbeitrag dieser Arbeit. Es beschäftigt sich mit der Minimierung des Schoenberg-Funktionals unter Beachtung von Schrankennebenbedingungen an Ableitungen. Wir verwenden hinreichende Bedingungen, welche linear in den Koeffizienten sind. Nachdem zunächst die numerische Berechnung des restringierten Splines zu festen Knoten zusammengefaßt wird, untersuchen wir Bedingungen, welche die strikte Konsistenz der Nebenbedingungen sichern. Unter Verwendung von Ergebnissen aus [Par85] für restringierte semi-lineare Quadratmittelprobleme kann ebenfalls die Äquivalenz der Probleme nachgewiesen werden. Da die Struktur der Jacobi-Matrix im restringierten Fall sehr kompliziert ist, verwenden wir eine Approximation, welche wesentlich billiger zu berechnen ist und außerdem die Ausnutzung der Schwachbesetztheit erlaubt. Es wird gezeigt, daß diese Ap- 105
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Diskrete Quadratmittelapproximation
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Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzei
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Abbildungsverzeichnis 2.1 Titanium
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Bezeichnungen Univariate Problemste
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Kapitel 1 Einleitung Although this
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Existieren Lösungen dieses Problem
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des Glättungsfunktionals an Stelle
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Kapitel 2 Univariate Splines 2.1 Ei
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2.1 Einleitung und historischer Üb
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2.2 Problemformulierung 19 Beispiel
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2.3 Separable Quadratmittelprobleme
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2.6 Numerische Tests 43 Knoten habe
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Kapitel 3 Univariate Splines mit Un
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Seite 89 und 90: 3.6 Numerische Tests 77 0.5 0 −0.
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Seite 123 und 124: Literaturverzeichnis 111 [Eub88] R.
Seite 125 und 126: Literaturverzeichnis 113 [Mul90] B.
Seite 127: Versicherung Hiermit versichere ich
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