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44 Kapitel 2. Univariate Splines
t ∗ t 1 t 2 t 3
innere Optimalstelle lokales Minimum Sattelpunkt lokales Minimum
τ5 835.9670 803.5453 796.9648 836.2518
τ6 876.4016 866.2870 852.4528 878.7197
τ7 898.1462 866.3510 885.2259 890.6851
τ8 916.3146 901.2944 885.9946 905.0262
τ9 973.9075 905.5165 910.5168 905.0902
F 8.752539 E-02 2.440692 E-01 2.493385 E-01 2.510164 E-01
Tabelle 2.2: Titanium Heat Data: Stationäre Punkte
2.2 zeigen die Splines zu der Startknotenfolge t2 und zur optimalen Knotenfolge t ∗2 .
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050
Abbildung 2.1: Titanium Heat Data: Startknotenfolge t2
Die Lage der Daten läßt bereits vermuten, daß eine äquidistante Knotenverteilung in
diesem Beispiel eine schlechte Approximation liefert. Dies wird durch die numerischen Tests
bestätigt. MATLAB liefert eine Lösung, welche jedoch weit entfernt von einem der stationären
Punkte dieses Problems ist. Auch das Golub/Pereyra-Modell bricht in diesem Beispiel
wegen zu kleiner Schritte ab. Einzig das Kaufman-Modell liefert eine Lösung, welche sich
in der Nähe des lokalen Minimums t 1 befindet.
2.6.2 Ein Algorithmus zur Datenreduktion
Ein Motiv für die Entwicklung des vorgestellten Algorithmus war eine optimale Plazierung
der Knoten, um gegebene Daten mit möglichst wenig B-Splines zu approximieren und eine
2 Die Splineknoten τj werden in den folgenden Abbildungen durch ein Kreuz ×, die Meßdaten (xi, yi)
durch einen kleinen Kreis ◦ dargestellt.