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3.6 Numerische Tests 77
0.5
0
−0.5
−1
x 10−3
1
−1.5
500 600 700 800 900 1000 1100
−1
−2
−3
x 10−3
3
2
1
0
−4
500 600 700 800 900 1000 1100
Abbildung 3.4: Titanium Heat Data: s ′′ zur Startknotenfolge und zur optimierten Knotenfolge
(RCSP-Ka-ED)
Wir wollen nun unseren Algorithmus mit einer adaptiven Strategie zur Knotenplazierung
bei kubischen Splines unter Konvexitätsnebenbedingungen vergleichen, welche in der
Routine CONCON des weitverbreiteten FITPACK-Paketes [Die87] implementiert wurde, siehe
auch [Die80] und [Die93]. In dieser Routine werden ausgehend von einer weniger dichten
Knotenfolge schrittweise Knoten eingefügt, so daß die formerhaltenden Nebenbedingungen
erfüllt sind und das Residuum unter einer vorgegebenen Schranke S ist. Man beachte, daß
das Ziel von CONCON nicht die „optimale“ Plazierung der Knoten ist, sondern eine schnelle
und „gute“ automatische Knotenwahl.
Gibt man die Schranke S = F 2 = 0.25 für den Quadratmittelfehler vor und benutzt
obige Nebenbedingungen, so berechnet CONCON einen Spline mit n = 11 B-Splines, siehe
Tabelle 3.2 für die Lage der inneren Knoten. Wir wollen erneut einen formerhaltenden
Spline mittels unseres Algorithmus berechnen. Man beachte, daß es nicht erforderlich ist,
die Intervalle, auf denen die formerhaltenden Nebenbedingungen vorgegeben sind, fix vorzugeben.
Deshalb verlangen wir nun s ′′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ [595, t7), [t11, 1075), wobei alle
l = 7 innere Knoten freie Knoten sind. Unser Algorithmus wurde mit äquidistanten inneren
Knoten gestartet. Das Ergebnis ist in Tabelle 3.2 und Abbildung 3.5 zusammengefaßt.
Methode τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 τ10 τ11 F
CONCON 715.0 835.0 865.0 875.0 895.0 925.0 955.0 1.11664 E-01
RCAP-Ka-ED 777.8 819.7 864.8 867.8 897.9 916.7 974.3 5.72718 E-02
Tabelle 3.2: Titanium Heat Data: CONCON — RCAP-Ka-ED
Das obige Beispiel zeigt, daß der Algorithmus auch sehr gut zur automatischen Bestimmung
von Wendepunkten eingesetzt werden kann. Über diese aktuelle Problematik gibt es
– aus statistischer Sicht – einige interessante theoretische Arbeiten, siehe [Rie95], jedoch
noch keinerlei numerische Erfahrungen.
Man beachte, daß die derzeit frei per Netlib 2 verfügbare Version von CONCON auf Grund
2 http://www.netlib.org/dierckx