pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.4 Splineglättung mit freien Knoten 29
(V 1) Die Knoten erfüllen die Bedingung τj < τj+k−q (j = q + 1, . . . , n).
(V 2) Die Regularitätsbedingung m ≥ r und µ > 0 ist erfüllt.
Dann besitzt das reduzierte Glättungsproblem RSP (2.31) eine Lösung t ∗ .
Beweis. Voraussetzung (V1) sichert die Existenz und Stetigkeit der Matrixfunktionen B(.)
und Sr(.) als Funktionen der (freien) Knoten (wegen der Anordnungsnebenbedingung Ct −
h ≥ 0 ändert sich die Knotenvielfachheit nicht). Nach Lemma 2.5 hat die Systemmatrix
Bµ unter der Voraussetzung (V2) Vollrang n. Somit ist auch die Moore-Penrose-Inverse
B + µ eine stetige Funktion der Knoten, siehe etwa [KS88]. Das stetige Funktional f nimmt
daher über der abgeschlossenen (wegen Ct − h ≥ 0) und beschränkten (wegen a ≤ τ p(1)
und τ p(l) ≤ b) Menge der zulässigen Knoten t ∈ R l : Ct − h ≥ 0 nach dem Satz von
Weierstraß ihr Minimum an einer Stelle t ∗ an.
2.4.2 Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem
Für den Nachweis der Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem benötigen wir
die differenzierbare Abhängigkeit der Matrixfunktionen B(.) und Sr(.) bezüglich der freien
Knoten. Aus der Definition von Sr(.) ist klar, daß diese Matrixfunktion stetig differenzierbar
ist, falls τj < τj+k−q (j = q + 1, . . . , n), r ∈ {0, . . . , q}. Es bleibt also die Ableitung eines
B-Splines nach den Knoten zu untersuchen.
Eine zu Definition 2.2 äquivalente Darstellung der B-Splines kann mittels dividierter
Differenzen angegeben werden (siehe [Sch81] zur Schreibweise und zur Definition dividierter
Differenzen).
Bj,k,τ (x) :=
(τj+k − τj) (−1) k [τj, . . . , τj+k] (x − y) k−1
+ , falls τj < τj+k,
0, sonst.
Sei Θ die feinste streng monoton wachsende Teilfolge von {τj, . . . , τj+k}, d. h.
τj ≤ τj+1 ≤ · · · ≤ τj+k = θ1
ν1
< θ2
ν2
< · · · < θd
Jedem τj ist ein θi mit der entsprechenden Vielfachheit νi zugeordnet. Eine alternative
Schreibweise des B-Splines lautet daher
νd
⎧
⎪⎨
(τj+k − τj) (−1)
Bj,k,τ (x) :=
⎪⎩
k
ν1, ν2, ..., νd
(x − y)
θ1, θ2, ..., θd
k−1
+ , falls τj < τj+k,
0, sonst.
Damit können wir nach [Sch81, Theorem 4.27] die Ableitung eines B-Splines nach den
Knoten angeben:
Theorem 2.5 (Ableitung eines B-Splines nach den Knoten).
Sei τj ≤ τj+1 ≤ · · · ≤ τj+k = θ1 <
θ2 < · · · <
θd . Sei 1 ≤ i ≤ d fest und gelte
ν1 ν2
νd
.