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102 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines −5 −10 −15 −20 −25 −30 0 0 −10 −20 −30 −40 0 −0.5 −0.5 −1 −1.5 −2 0 0.2 0.4 0.6 Abbildung 4.5: EOS Aluminium Daten: Datenpunkte −1 −1.5 −2 Abbildung 4.6: EOS Aluminium Daten: Spline s, Startknotenfolge 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 1 1
4.5 Numerische Tests 103 −5 −10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 0 −0.5 −1 −1.5 −2 Abbildung 4.7: EOS Aluminium Daten: Optimierte Knoten, CONSTR Optimiert man die Lage der Knoten, so erhält man etwa mit CONSTR den Spline in Abbildung 4.7. Die wesentlichen Oszillationen sind bei diesem Spline verschwunden. Tabelle 4.2 zeigt die Residuen der entsprechenden Splines, die Lage der Knoten wird in Abbildung 4.8 gezeigt. Man beachte, daß der resultierende Spline-Approximant fast monoton ist, es gilt z. B. min sy ≈ −8.03, max sy ≈ 86.62! −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1.2 −1.4 −1.6 −1.8 −2 −2.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abbildung 4.8: EOS Aluminium Daten: Contour-Linien und Knoten vor und nach der Optimierung Die letzte Bemerkung legt eine weitere Anwendungsmöglichkeit der bivariaten Splines mit freien Knoten nahe: Bei der sog. fit-and-modify-Methode zur restringierten Interpolation werden gute Schätzwerte für Ableitungen benötigt. Die Parameter des restringierten Splines werden dann so bestimmt, daß der Spline möglichst wenig von dem vorgegebenen Spline abweicht, jedoch die Nebenbedingungen erfüllt. Da die Ableitungswerte der bivariaten Spli- −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1.2 −1.4 −1.6 −1.8 −2 −2.2 1
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Diskrete Quadratmittelapproximation
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Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzei
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Abbildungsverzeichnis 2.1 Titanium
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Bezeichnungen Univariate Problemste
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Kapitel 1 Einleitung Although this
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Existieren Lösungen dieses Problem
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des Glättungsfunktionals an Stelle
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Kapitel 2 Univariate Splines 2.1 Ei
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2.1 Einleitung und historischer Üb
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2.2 Problemformulierung 11 Definiti
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2.2 Problemformulierung 13 Die Matr
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2.3 Separable Quadratmittelprobleme
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2.4 Splineglättung mit freien Knot
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2.5 Numerische Lösung des reduzier
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2.6 Numerische Tests 43 Knoten habe
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2.6 Numerische Tests 45 t1 MATLAB R
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2.6 Numerische Tests 47 2.6.3 Ein B
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