pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

3.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems 71
Splineglättung erhalten wir für die Kaufman-Approximation
(3.25) JK := P ⊥
B
B Jt + √ ¯R
õS N
µSr
+
Γ¯
∈ R m+n−r,l
mit
(3.26)
(3.27)
sowie
(3.28)
Jt := −∂
B(t)
√ µSr(t)
P ⊥
B
√µS N := Im+n−r
−
R ¯ Dp(t)
:= −
−Dp(t)
i∈I
α(t) ∈ R m+n−r,l ,
B
√ µSr
∈ R nact,n ,
N
¯ Γ := −∂
B
√ µSr
+
N ∈ R m+n−r,m+n−r
Dp(t)
−Dp(t)
i∈I
α(t) ∈ R nact,l .
Die Matrix JK ∈ R m+n−r,l wird erneut spaltenweise berechnet, d. h. JKe κ ∈ R m+n−r
(κ = 1, . . . , l).
Wir bemerken zunächst, daß sich die Berechnung der Matrizen, welche Ableitungen bez.
der freien Knoten enthalten, gegenüber dem unrestringierten Fall nicht geändert hat. Die
Berechnung von Jt kann unmittelbar aus Abschnitt 2.5.3 übernommen werden, wobei jetzt
jedoch α das Subproblem (A) löst. Die Matrix ¯ Γ erhalten wir aus Algorithmus 2.2, indem
wir die Komponenten, welche zu aktiven Nebenbedingungen gehören, mit entsprechenden
Vorzeichen versehen.
Berechnung einer Nullraumbasis N bzw. von Vektoren ¯ R + v
Zur Berechnung des orthogonalen Projektors (3.27) wird eine Basis N des Nullraumes von ¯ R
benötigt. Eng damit verbunden ist die Berechnung von Vektoren x = ¯ R + v für verschiedene
v ∈ R nact , genauer von xκ = ¯ R + ¯ Γe κ (κ = 1, . . . , l). Für die Matrix ¯ R ∈ R nact,n gilt
0 ≤ nact ≤ n, rank ¯ R = nact und die Zeilenbandbreite beträgt p + 1.
Beispiel 3.5. n = 10, p = 2, nact = 4, I = {4, 6, 10, 15}
⎡
x x x
⎢
¯R = ⎢
⎣ x x x
x x x
x x x
⎤
⎥
⎦ ∈ R4,10
Der Vektor x kann als Lösung des Minimum-Norm-Problems x → min bei ¯ Rx = v
interpretiert werden. Ein naheliegende Möglichkeit zu dessen Lösung ist die Methode der
Normalgleichungen 2.Art, d. h. die Berechnung der Cholesky-Faktorisierung ¯ R ¯ RT = LLT ,
Lösung des Gleichungssystems LLT w = v und Bildung von ¯ RT w. Die Fehlerschranke der
berechneten Lösung hängt von cond( ¯ R) 2 ab.
Ein Verfahren mit besseren Stabilitätseigenschaften erhält man mittels einer QR-Faktorisierung
von ¯ RT . Wegen N
R¯ = R ¯R T ⊥ kann damit gleichzeitig eine orthonormale
Basis N des Nullraumes von ¯ R berechnet werden. Sei Q1 = (Q11 | Q12) ∈ Rn,n mit
Q11 ∈ Rn,nact und Q12 ∈ Rn,n−nact eine orthogonale Matrix mit
Q T 1 ¯ R T
QT = 11 ¯R T
R1
= , R1 ∈ R
0
nact,nact reguläre obere Dreiecksmatrix.
Q T 12