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46 Kapitel 2. Univariate Splines
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050
Abbildung 2.2: Titanium Heat Data: Optimalstelle t ∗
maximale Datenreduktion zu erreichen. Wir werden daher jetzt das neue Verfahren mit
einem Algorithmus zur Knotenreduktion kombinieren.
Sei ∆ > 0 eine gegebene Schätzung des Fehlerniveaus der Daten, welches durch den
Quadratmittelfehler F gemessen wird. Wir nennen eine Knotenfolge t akzeptabel, wenn
der Quadratmittelfehler des zugehörigen Splines nicht größer als die vorgegebene Schranke
∆ ist, d. h. falls F ≤ ∆. Unsere Knotenreduktionsstrategie ist ähnlich der von Lyche/Mørken
[LM88]. Wir starten den Prozeß mit einer akzeptablen Knotenfolge, welche aus
einer relativ großen Anzahl von Knoten besteht. Im Gegensatz zu Lyche/Mørken müssen
diese Knoten jedoch nicht an Datenstellen lokalisiert sein. Ein Schritt des iterativen Prozesses
zur Knotenreduktion besteht zunächst in der Optimierung der Lage der Knoten mittels
unseres Algorithmus. Danach bewerten wir die Knoten nach ihrer Bedeutung für die Approximationsgüte,
wir verwenden die Größe des Sprungs in der ersten unstetigen Ableitung als
Gütemaß. Falls das Entfernen des Knotens mit dem kleinsten Sprung zu einer inakzeptablen
Knotenfolge führt, wird die Iteration beendet und die letzte, akzeptable Knotenfolge wiederhergestellt.
Andernfalls wird die Iteration mit der neuen, um einen Knoten verkürzten
Knotenfolge fortgesetzt.
Der Unterschied zu anderen bekannten Verfahren zur Knotenreduktion besteht darin,
daß wir versuchen, in jedem Schritt eine optimale Knotenverteilung zu finden, während in
anderen Verfahren überhaupt keine Lageoptimierung stattfindet. Da die Knotenoptimierung
in jedem Schritt jedoch sehr teuer ist, haben wir eine zweistufige Strategie implementiert:
In einer ersten Stufe beginnen wir mit einer festen, akzeptablen Knotenfolge. Wir entfernen
iterativ Knoten wie oben beschrieben, jedoch ohne die Lage der Knoten zu optimieren.
Dieser billige Prozeß wird solange ausgeführt, wie die Knoten akzeptabel bleiben. Geht die
Akzeptabilität verloren, so beginnen wir die zweite Stufe und versuchen, weiter Knoten zu
entfernen, indem wir die Lage der Knoten in jedem Schritt optimieren.