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86 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
Matrixformulierung
b1 b2 1
+ µ1µ2
B
2 a1 a2
(r1) (r2)
j1,k1,τ 1(x)B j2,k2,τ 2(y)αj1,j2
2 dy dx → min .
αj1 ,j2 Zur besseren Übersichtlichkeit gehen wir jetzt zur Matrixnotation über. Wir vereinbaren
zunächst die folgenden Bezeichnungen:
A := (αj1,j2 )j1=1,...,n1
j2=1,...,n2
∈ R n1,n2
Z := (zi1,i2 )i1=1,...,m1
i2=1,...,m2
∈ R m1,m2
β 1 (x, τ 1 ) := B 1,k1,τ 1(x), . . . , B n1,k1,τ 1(x) T ∈ R n1
β 2 (y, τ 2 ) := B 1,k2,τ 2(y), . . . , B n2,k2,τ 2(y) T ∈ R n2
B1(τ 1 ) := B j1,k1,τ 1(xi1 ) i1=1,...,m1
j1=1,...,n1
B2(τ 2 ) := B j2,k2,τ 2(yi2 ) i2=1,...,m2
j2=1,...,n2
= β 1 (xi1 , τ 1 T
) ∈ Rm1,n1
i1=1,...,m1
= β 2 (yi2 , τ 2 T
) ∈ Rm2,n2
i2=1,...,m2
Für den Spline s erhalten wir die Matrixdarstellung s(x, y) = β 1 (x, τ 1 ) T Aβ 2 (y, τ 2 ) und für
das Quadratmittelproblem (4.4a) unter Benutzung der Frobeniusnorm
(4.5a)
Verwenden wir die Glättungsmatrizen
1
Z − B1(τ
2
1 )AB2(τ 2 ) T 2 F
¯S 1 r1 (τ 1 ) := ¯ F 1 r1 (τ 1 )D 1 r1 (τ 1 ) ∈ R n1−r1,n1 ,
→ min
A∈Rn1 ,n .
2
¯ S 2 r2 (τ 2 ) := ¯ F 2 r2 (τ 2 )D 2 r2 (τ 2 ) ∈ R n2−r2,n2
mit den analog zu (2.8) definierten Matrizen bzw. die approximierten Glättungsmatrizen
˜S 1 r1 (τ 1 ) := ˜ F 1 r1 (τ 1 )D 1 r1 (τ 1 ) ∈ R n1−r1,n1 ,
˜ S 2 r2 (τ 2 ) := ˜ F 2 r2 (τ 2 )D 2 r2 (τ 2 ) ∈ R n2−r2,n2
mit ˜ F 1 r1 (τ 1 ) und ˜ F 2 r2 (τ 1 ) gemäß (2.9), so zeigt man leicht, daß (4.4b) äquivalent ist zu
1
Z − B1(τ
2
1 )AB2(τ 2 ) T 2 1
+ F 2 µ1
1
Sr1 (τ 1 )AB2(τ 2 ) T 2 F
+ 1
2 µ2
B1(τ 1 )AS 2 r2 (τ 2 ) T 2 1
+
F 2 µ1µ2
S 1 r1 (τ 1 )AS 2 r2 (τ 2 ) T 2
F
bzw.
(4.5b)
1
2
Z 0
0 0
−
B1(τ 1 )
√ µ1S 1 r1 (τ 1 )
A
B2(τ 2 )
√ µ2S 2 r2 (τ 2 )
T 2
F
→ min
A∈Rn1 ,n ,
2
→ min
A∈R n 1 ,n 2
siehe [Bre90] und [Pig91] für eine ausführliche Herleitung.
Bevor wir uns der Charakterisierung der Lösung von (4.5a) und (4.5b) widmen, stellen
wir einige technische Hilfsmittel bereit. Das Kronecker-Produkt von A ∈ Rm,n und B ∈ Rp,q ist definiert durch
⎡
⎤
A ⊗ B :=
⎢
⎣
a11B · · · a1nB
.
.
am1B · · · amnB
⎥
⎦ ∈ R m·p,n·q .