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64 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Wir untersuchen die Größenordnung des Fehlers in der Hesse-Matrix J T J des Gauß-
Newton-Modells, wenn wir an Stelle von J mit der Kaufman-Approximation JK arbeiten.
Es gilt J T J = J T K JK + φ T P T Pφ mit
φ T P T Pφ = ((BN) + ) T N T K T P T BNPBN((BN) + ) T N T K
= ((BN) + ) T N T K T ((BN) + ) T N T K
= K T N N T B T BN −1 N T K.
Für die Matrix K gilt K = −∂B T (y − Bα) + R T u, d. h. der erste Term ist von der
Größenordnung O (y − Bα). Aus den notwendigen Optimalitätsbedingungen für Subproblem
(A) erhalten wir ∇αl = (−B) T (y − Bα) + R T u = 0 und wegen (ui)i∈I = 0
schließlich ¯ R T ū = B T (y − Bα). Die Matrix ¯ R ∈ R nact,n hat nach den Voraussetzungen von
Theorem 3.1 Vollrang nact, so daß
ū = ( ¯ R ¯ R T ) −1 ¯ RB T (y − Bα) = ¯ R + B T (y − Bα)
und der zweite Term der Matrix K ebenfalls von der Größenordnung O (y − Bα) ist. Es
gilt also auch im restringierten Fall JT J = JT KJK
+ O y − Bα 2
, so daß dieser Term
im Rahmen von verallgemeinerten Gauß-Newton-Verfahren vernachlässigt werden kann und
sich qualitativ die gleichen Konvergenzeigenschaften wie im unrestringierten Fall ergeben.
Die numerischen Tests bestätigen diese Aussage.
3.4 Splineglättung mit freien Knoten und Ungleichheitsnebenbedingungen
an Ableitungen
Wir können die Ergebnisse aus Abschnitt 3.3 unmittelbar auf das vollständige restringierte
Glättungsproblem FCSP anwenden, wenn wir das Paar {B(t), y} durch die Größen
B(t)
√ µSr(t)
y
,
0
.
ersetzen. Das entsprechende reduzierte Problem heißt reduziertes restringiertes Glättungsproblem
RCSP und ist definiert durch
(3.19) min f(t) := 1
2 F(t)2 = 1
y
B(t) 2
2 − √ α(t)
0 µSr(t) : Ct ≥ h , t ∈ R l
,
wobei F(t) :=
y
0
(3.20) min
−
1
2
y
0
B(t)
√ µSr(t)
−
α(t), und α(t) löst Subproblem (A)
B(t)
√ µSr(t)
α
2
: L ≤ Dp(t)α ≤ U , α ∈ R n
In diesem Abschnitt zeigen wir, daß das Problem RCSP immer eine Lösung besitzt, und
untersuchen die Beziehungen zwischen Lösungen von FCSP und RCSP. Um die Existenz
von Lösungen für RCSP zu beweisen, benötigen wir einen schwächeren Störungssatz als den
.