pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

98 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
Berechnet man die Jacobi-Matrix auf die obige Art, so sind die notwendigen QR-
Faktorisierungen von B1 und B2 für ∂1F und ∂2F nur jeweils einmal durchzuführen und
dann auf verschiedene rechte Seiten anzuwenden. Sämtliche Algorithmen – einschließlich
der Verwendung der Kaufman-Approximation und der Ausnutzung der Schwachbesetztheitsstrukturen
– können direkt vom univariaten Fall übernommen werden. Wir erhalten
etwa für ∂1F im Fall der Spline-Approximation
∂1F(t 1 , t 2 )[∆t 1
] = − P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B + 1 +
P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B +
T
ZPB2
1
und für die Kaufman-Approximation
JK[∆t 1 ] = −P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B + 1
ZPB2 .
Diese Verfahrensweise hat große Ähnlichkeit mit der Berechnung der Jacobi-Matrix für
separable Quadratmittelprobleme mit mehreren rechten Seiten. Setzen wir B2(t 2 ) = I, so
erhalten wir unmittelbar die Ergebnisse von Golub/LeVeque als Spezialfall. Die Strukturausnutzung
bei solchen Problemen wurde in den letzten Jahren intensiv untersucht [KS92],
[KSW94], [GK92], [SB92]. Kaufman/Sylvester berichten über eine drastische Aufwandsreduzierung
bei realen Problemen mit mehreren Tausend Parametern und Millionen von
Beobachtungen, wobei die linearen Quadratmittelprobleme vollbesetzt waren. Die zusätzliche
Schwachbesetztheit der Beobachtungsmatrix untersuchen Soo/Bates, u. a. auch am
Beispiel der „self-modeling free-knot splines“, allerdings nicht im Tensorprodukt-Fall.
Die Algorithmen zur Berechnung der Jacobi-Matrix und somit das verallgemeinerte
Gauß-Newton-Verfahren lassen sich also ohne große Probleme auf den bivariaten Fall übertragen.
4.5 Numerische Tests
Für die numerischen Tests zur Berechnung von bivariaten Tensorprodukt-Splines mit freien
Knoten wurde ein Verfahren zur Lösung des reduzierten Problems – vorerst ohne Ausnutzung
der Feinstruktur, d. h. der Schwachbesetztheit der Systemmatrizen – in MATLAB
implementiert. Auf Grund der schlechten Verfügbarkeit von Software zur Lösung von nichtlinearen
Quadratmittelproblemen mit linearen Nebenbedingungen haben wir das Problem als
allgemeines nichtlineares Optimierungsproblem behandelt. Wir haben den Optimierungsalgorithmus
CONSTR aus der MATLAB Optimization Toolbox [Gra90] sowie das kommerzielle
Paket NPSOL [GMSW86] für unsere Tests verwendet. Beide Verfahren sind SQP-Verfahren,
welche einen BFGS-Update der Hesse-Matrix durchführen. Die Gradienten wurden über finite
Differenzen berechnet. Der wesentliche Unterschied zwischen beiden Verfahren besteht
darin, daß NPSOL die linearen Nebenbedingungen ausnutzen kann und deshalb nur mit
zulässigen Punkten arbeitet.
Obwohl die Algorithmen – im Gegensatz zu den univariaten Verfahren – ohne Ausnutzung
der Feinstruktur implementiert wurden, ergeben sich durchaus akzeptable Rechenzeiten.
Eine weitere Verbesserung wird durch die Verwendung eines Algorithmus erwartet,
welcher die Quadratmittelstruktur ausnutzt. Leider stand das in Frage kommende Verfahren
NLSSOL zum Zeitpunkt des Tests noch nicht zur Verfügung.