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4.5 Numerische Tests 101
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Abbildung 4.4: Bivariate Titanium Heat Data: Contour-Linien und Knoten vor und nach der Optimierung
Startknotenfolge CONSTR NPSOL
F 1.587922 E+01 1.228815 E+00 1.228815 E+00
Schritte 80 52
func. calls 705 573
Zeit [s] 18.82 14.17
Ret. Code max. no. iterations solution found, accuracy problems
Tabelle 4.2: EOS Aluminium Daten: Vergleich von CONSTR und NPSOL
Tendenz bei der Bewertung der beiden Optimierungsverfahren zeichnet sich schon in diesem
Beispiel ab: Die Routine NPSOL ist wesentlich robuster als CONSTR. Wenn beide Routinen
funktionieren, so unterscheiden sich die gefundenen lokalen Minima i. allg. nicht wesentlich.
Der Vorteil der größeren Robustheit von NPSOL liegt in der Ausnutzung der linearen
Nebenbedingungen begründet. Dies wird besonders an dem nächsten Beispiel deutlich.
4.5.2 EOS Aluminium Daten
Jetzt betrachten wir ein Standardbeispiel zur bivariaten restringierten Approximation, siehe
z. B. [CF85]. Die m1 = 10 × m2 = 6 Punkte im Bereich [−0.07, 1.13] × [−2.3, 0] beschreiben
eine Zustandsfläche (equation of state, EOS) von Aluminium. Dargestellt ist die Spannung
als Funktion von Dichte und Temperatur auf einer log-log-Skale. Die Daten sind in monotoner
Lage, vgl. Abbildung 4.5.
Obwohl dieser Datensatz relativ klein ist, erweist er sich als schwierig zu approximieren.
Wir benutzen n1 = 8 quadratische B-Splines in x-Richtung, n2 = 5 quadratische B-Splines
in y-Richtung und die Glättungsfaktoren µ1 = µ2 = 1.0 E-08 sowie r1 = r2 = 2. Wählt
man die l1 = 5, l2 = 2 freien inneren Knoten äquidistant, so erhält man die unbefriedigende
Approximation in Abbildung 4.6. Wir bemerken, daß beide Verfahren im Fall der
Splineapproximation (µ1 = µ2 = 0) abbrechen, da zwischenzeitlich rangdefiziente Beobachtungsmatrizen
– und damit Verlust der Differenzierbarkeit! – auftreten.