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60 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
(i) Sei (α ∗ , t ∗ ) eine globale Minimumstelle des vollständigen Problems. Dann erfüllt α ∗
die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für das Subproblem (A), t ∗
ist globale Minimumstelle des reduzierten Problems und es gilt f(t ∗ ) = f(α ∗ , t ∗ ). Wenn
es ein eindeutiges α ∗ unter allen Paaren (α ∗ , t ∗ ), welche f minimieren und denselben
Minimalwert ergeben, gibt, so gilt α ∗ = α (t ∗ ).
(ii) Wenn t ∗ die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für das reduzierte
Problem erfüllt, so erfüllt (α(t ∗ ), t ∗ ) die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster
Ordnung für das vollständige Problem.
Das obige Theorem wurde von Parks für allgemeine nichtlineare Optimierungsprobleme
der folgenden Form (sog. reduzible Optimierungsprobleme) bewiesen:
Vollständiges Problem
f(α, t) −→ min
α∈R n ,t∈R l
gi(α, t) ≥ 0, i = 1, . . . , p1, ci(α) ≥ 0, i = 1, . . . , p3, ri(t) ≥ 0 i = 1, . . . , p5,
hi(α, t) = 0, i = 1, . . . , p2, di(α) = 0, i = 1, . . . , p4, si(t) = 0 i = 1, . . . , p6.
Reduziertes Problem
f(t) := f(α(t), t) −→ min
t∈R l
bei
bei
ri(t) ≥ 0, i = 1, . . . , p5, si(t) = 0, i = 1, . . . , p6,
wobei α(t) das folgende Subproblem (A) löst:
Subproblem (A)
f(α; t) −→ min
α∈R n
gi(α, t) ≥ 0, i = 1, . . . , p1, ci(α) ≥ 0, i = 1, . . . , p3,
hi(α, t) = 0, i = 1, . . . , p2, di(α) = 0, i = 1, . . . , p4.
Die Schlüsselidee beim Beweis von Theorem 3.1 liegt in der Anwendung des Hauptsatzes
der Sensitivitätstheorie [Fia76] auf Subproblem (A). Er liefert Sensitivitätsaussagen erster
Ordnung für ein lokales Minimum, welches die Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung
erfüllt, siehe auch [Fia83]. Tatsächlich stellen die Bedingungen 3(a)–(c) die Voraussetzungen
dieses Satzes dar.
Theorem 3.1 ist von ähnlicher Bedeutung wie das entsprechende Theorem für separable
Quadratmittelprobleme, siehe [GP73, Theorem 2.1], und ist eine direkte Verallgemeinerung.
Das Auftreten der sog. gemischten Nebenbedingungen gi(α, t) ≥ 0, hi(α, t) = 0 kompliziert
die Ausdrücke für Gradient und Hesse-Matrix des reduzierten Funktionals erheblich. Der
Fall von semi-linearen Gleichheitsnebenbedingungen H(t)α−δ(t) = 0 wurde in [KP78] und
[Cor81] behandelt. Als Spezialfall des obigen Satzes erhalten wir Theorem 2.2 von Kaufman
mit einer präzisen Formulierung der Äquivalenz.
bei