pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

d. h. die Monotonie in x-Richtung wird mit der Nichtnegativität in y-Richtung kombiniert
und liefert die Monotonie des bivariaten Splines in x-Richtung, sowie
(5.2)
(φj1 ⊗ ˜ϕj2 )s ≥ 0 (j1 = 1, . . . , n1; j2 = 2, . . . , n2) (s 1 (x) ≥ 0, s 2′ (y) ≥ 0, ∂s
∂y
hinreichend für einen bi-monotonen Spline. Aus (5.1) erhält man z. B. die Bedingung
αj1,j2 − αj1−1,j2
τ 1 j 1 +k 1 −1 −τ 1 j 1
k1−1
≥ 0 (j1 = 2, . . . , n1; j2 = 1, . . . , n2)
an die Koeffizienten. Es ist möglich, dieses Vorgehen auf den Durchschnitt von verschobenen
Kegeln und damit auf Schrankennebenbedingungen zu erweitern.
Die effiziente numerische Berechnung von Tensorprodukt-Splines (zu festen Knoten) im
unrestringierten Fall beruht auf der Tatsache, daß der Interpolations- bzw. Approximationsoperator
gerade der Tensorprodukt-Operator der linearen univariaten Operatoren ist, siehe
[dB78]. Bei der formerhaltenden Approximation sind die entsprechenden Operatoren jedoch
i. allg. nicht mehr linear. Mittels des Nichtnegativitätslemmas kann man zwar hinreichende
Bedingungen aufstellen, es ist jedoch nicht klar, ob und wie die Tensorprodukt-Struktur bei
der numerischen Berechnung des Splines ausgenutzt werden kann.
Ein weiteres Gebiet für zukünftige Forschung sind Splines mit freien Knoten auf Triangulierungen.
Während es gerade in der FEM-Literatur eine Fülle von „heuristischen“
Verfahren (wie Gleichverteilung des Fehlers) gibt, wurde die direkte Minimierung eines Fehlerfunktionals
als Funktion der Knoten bisher kaum untersucht. Ein erster Ansatz findet
sich in [TB97], welche die unstetige stückweise L2-Approximation von Funktionen betrachten.
Jedoch wird in dieser Arbeit beim „Mesh Tangling“ mehr oder weniger willkürlich das
entsprechende Dreieck entfernt. Die geeignete Formulierung der Bedingungen an Knoten,
welche das Zusammenfallen verhindern und eine allgemeine Lage sichern, stellt bereits ein
Problem dar.
≥ 0)
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