pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

4.4 Numerische Lösung des reduzierten Problems 97
diesmal in den Variablen t 1 und t 2 , mit linearen Ungleichheitsnebenbedingungen, welches
wir mit unserem Basisalgorithmus 2.1 lösen können.
Das vollständige Problem hat formal große Ähnlichkeit mit einem separablen Quadratmittelproblem
mit mehreren rechten Seiten, welches in der Form
1
2 Z − B1(t 1 )A 2
F
→ min
t 1 ,A
dargestellt werden kann, siehe [GL79] und [KS92]. Eine naive Realisierung überführt in unserem
Fall das Problem 1
2Z − B1(t1 )ABT 2 (t2 )2 1
F → min in „Standardform“ 2 vec (Z) −
(B2(t2 ) ⊗ B1(t1 )) vec (A) 2 2 → min und wendet an dieser Stelle die Reduktionstechnik an.
Zur Berechnung der Jacobi-Matrix des reduzierten Problems ist dann die Matrix B2 ⊗B1 ∈
Rm1m2,n1n2 zu faktorisieren. Betrachtet man jedoch die obige Struktur genauer, so erkennt
man, daß in den einzelnen Blöcken jeweils die gleiche Fréchet-Ableitung vorkommt. Diese
Struktur kann (und muß) man bei realen Problemen ausnutzen. Für separable Quadratmittelprobleme
mit mehreren rechten Seiten wurde dies in [GL79] erstmals durchgeführt.
In jedem Schritt des verallgemeinerten Gauß-Newton-Verfahrens ist das quadratische
Modellproblem
µGP (t 1 + ∆t 1 , t 2 + ∆t 2 ) :=
1
2 F(t1 , t 2 ) + ∂1F(t 1 , t 2 )[∆t 1 ] + ∂2F(t 1 , t 2 )[∆t 2 ] 2
F
mit den Nebenbedingungen
C1t 1 + C1∆t 1 − h 1 ≥ 0, C2t 2 + C2∆t 2 − h 2 ≥ 0
zu lösen. Für das Gauß-Newton-Modell µGP erhalten wir
mit
J :=
⎡
µGP = 1
2 F + ∂1F∆t 1 + ∂2F∆t 2 2
F
= 1
l1
F
+ ∂1F[e
2
κ=1
κ ]∆t 1
l2
κ + ∂2F[e
κ=1
κ ]∆t 2
2
κ
F
= 1
l1
vec
(F) + vec (∂1F[e
2
κ=1
κ ]) ∆t 1
l2
κ + vec (∂2F[e
κ=1
κ ]) ∆t 2
κ
= 1
1
∆t
2 vec (F) + J
∆t2
2
2
→ min
∆t 1 ∈R l 1 ,∆t 2 ∈R l 2
⎢
⎣ vec ∂1F[e 1 ] · · · vec ∂1F[e l1 ] vec ∂2F[e 1 ] · · · vec ∂2F[e l2 ]
Die Jacobi-Matrix J ∈ R (m1+n1−r1)(m2+n2−r2),l1+l2 im Glättungsfall (bzw. J ∈ R m1m2,l1+l2
im Approximationsfall) kann spaltenweise berechnet werden. Sie ist i. allg. vollbesetzt.
2
2
⎤
⎥
⎦