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3.6 Numerische Tests 75
3.6 Numerische Tests
In diesem Abschnitt wollen wir die Fähigkeiten des entwickelten Verfahrens an einigen
Beispielen aus der Literatur demonstrieren. Wie schon im unrestringierten Fall haben wir
sowohl das Kaufman-Modell als auch das Golub/Pereyra-Modell innerhalb des Programmpaketes
FREE implementiert.
3.6.1 Titanium Heat Data
Unser erstes Beispiel sind die wohlbekannten Titanium Heat Data. Diesmal wollen wir die
m = 49 Datenpunkte durch n = 11 B-Splines der Ordnung k = 4 approximieren. Wir
verwenden die Ordnung r = 2 im Glättungsterm und einen Glättungsparameter µ = 1.0,
welchen wir interaktiv bestimmt haben. Wir fixieren die Knoten τ7 = 835 und τ10 = 955,
d. h. wir haben schließlich l = 5. Die verbleibenden freien Knoten τ5 und τ6 bzw. τ8, τ9
und τ11 verteilen wir äquidistant in den Intervallen [595, 835], [835, 955] und [955, 1075].
Wir fordern die Konvexität des Splines in den Intervallen [595, 835) und [955, 1075) und
erhalten
L = (0, 0, 0, 0, −∞, −∞, 0, 0, 0) T
U = (+∞, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞) T .
Tabelle 3.1 zeigt das Ergebnis der Splineglättung mit freien Knoten unter diesen Konvexitätsnebenbedingungen.
Dabei bezeichnet RSP-Ka-ED eine Methode aus dem zweiten
Kapitel. In diesem Fall haben wir zuerst die Lage der Knoten ohne Berücksichtigung der
formerhaltenden Nebenbedingungen optimiert. Abschließend wurde zu diesen festen Knoten
ein formerhaltender Spline berechnet.
t 0 RCSP-Ka-ED RCSP-GP-OD RSP-Ka-ED
τ5 675.0 7.975133 E+02 7.822991 E+02 5.959958 E+02
τ6 755.0 8.110142 E+02 7.947857 E+02 6.109336 E+02
τ8 875.0 8.751572 E+02 8.755310 E+02 8.767428 E+02
τ9 915.0 8.810366 E+02 8.804978 E+02 8.816339 E+02
τ11 1015.0 9.625000 E+02 9.625000 E+02 9.625000 E+02
F 1.027722 E+00 3.469246 E-01 3.460394 E-01 3.544604 E-01
Schritte 7 13 9
Zeit [s] 0.269 0.504 0.239
|F T Js| 2.491557 E-03 3.592591 E-11 5.363720 E-10
J T F 2.797501 E-03 2.988107 E-03 1.749176 E-03
Ret. Code 4 3 4
Tabelle 3.1: Titanium Heat Data: Glättung mit Nebenbedingungen (µ = 1.0)
Die Abbildungen 3.2 und 3.3 zeigen den Graph des Splines vor und nach der Optimierung.
Die Verbesserung sowohl in der Approximationsgüte als auch dem Aussehen ist
deutlich erkennbar. In der Abbildung 3.4 wird schließlich die zweite Ableitung des Splines
gezeigt.