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106 Kapitel 5. Zusammenfassung und Ausblick
proximation die gleichen qualitativen Eigenschaften wie im unrestringierten Fall hat.
Im Kapitel 4 wird schließlich die Problemstellung auf die bivariate Glättung durch
Tensorprodukt-Splines mit Daten auf Rechteckgittern verallgemeinert. Es wird ein separabler
Glättungsterm verwendet, bei welchem die linearen Probleme zu festen Knoten zerfallen.
Eine Verallgemeinerung auf Probleme mit unregelmäßig verteilten Daten ist einfach.
Alle Algorithmen dieser Arbeit wurden implementiert und an zahlreichen Beispielen
getestet. Die numerischen Tests zeigen, daß die Algorithmen zur Knotenoptimierung ein effizientes
und robustes Werkzeug zur Quadratmittelapproximation durch Splines mit freien
Knoten sind. Die Verfahren aus den Kapiteln 2 und 3 sind in einem umfangreichen Programmpaket
[Sch96] implementiert und werden bereits von Dritten erfolgreich eingesetzt.
Wir möchten an dieser Stelle auf mögliche Verbesserungen und Vorschläge für die weitere
Arbeit eingehen: Zunächst einmal sollte eine portable Implementierung der Verfahren
angestrebt werden, da die derzeitige Fassung auf Grund von systemspezifischen Eigenheiten
auf 100–200 Datenpunkte beschränkt ist. Zudem sollte bei der bivariaten Approximation
auch die Feinstruktur der Matrizen ausgenutzt werden. Die Ergebnisse für diesen Fall liegen
vor und lassen sich unmittelbar übertragen.
Ein nächster Schritt wäre die Ausdehnung der Tensorprodukt-Approximation auf unregelmäßig
verteilte Daten. Obwohl hier keine theoretischen Schwierigkeiten zu erwarten sind,
muß man bei der numerischen Realisierung beachten, daß die Probleme zu festen Knoten
nicht mehr zerfallen.
Ein naheliegender nächster Schritt ist dann natürlich die Verbindung von Nebenbedingungen
an Ableitungen und Splines mit freien Knoten. In diesem Fall liegen selbst für die
Approximation durch Tensorprodukt-Splines mit festen Knoten und formerhaltenden Nebenbedingungen
noch keine Ergebnisse vor. Ein möglicher Ansatzpunkt ist die Übertragung
der Tensorprodukt-Techniken bei der restringierten Interpolation, wie sie in einer Reihe von
Arbeiten [MS94], [Sch92b], [SW97] betrachtet wurden, auf den Quadratmittelfall. Unter Benutzung
eines Ergebnisses aus [MS94] (siehe auch [Mul97]), dem sog. Nichtnegativitätslemma,
ist es möglich, aus hinreichenden Nebenbedingungen im univariaten Fall hinreichende
Bedingungen für den bivariaten Fall zu erhalten. Wir möchten den Ansatz kurz am Beispiel
der bi-monotonen Approximation erläutern:
Zunächst betrachten wir die univariaten Splines
s 1 (x) =
n1
j1=1
B j1,k1,τ 1(x)α1
j1 und s2 (y) =
n2
j2=1
B j2,k2,τ 2(y)α2
j2 .
Hinreichende Nebenbedingungen für die Nichtnegativität können durch die Funktionale φj,
˜φj mit den Werten
φj1 (s1 ) = α 1
j1 (j1 = 1, . . . , n1) und ˜ φj2 (s2 ) = α 2
j2 (j2 = 1, . . . , n2)
beschrieben werden, d. h. aus φj1 (s1 ) ≥ 0 ∀j1 folgt s 1 (x) ≥ 0, analog für ˜ φ. Hinreichende
Nebenbedingungen für die Monotonie werden durch
ϕj1 (s1 ) = α1
j1
− α1
j1−1
τ 1 j 1 +k 1 −1 −τ 1 j 1
k1−1
(j1 = 2, . . . , n1) und ˜ϕj2 (s2 ) = α2
j2
dargestellt. Nach dem Nichtnegativitätslemma sind dann
(5.1)
− α2
j2−1
τ 2 j 2 +k 2 −1 −τ 2 j 2
k2−1
(j2 = 2, . . . , n2)
(ϕj1 ⊗ ˜ φj2 )s ≥ 0 (j1 = 2, . . . , n1; j2 = 1, . . . , n2) (s 1′ (x) ≥ 0, s 2 (y) ≥ 0, ∂s
≥ 0),
∂x