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ii Inhaltsverzeichnis 3 Univariate Splines mit Nebenbedingungen 51 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Problemformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.1 Glättungsfunktional und Anordnungsnebenbedingungen . . . . . . . 53 3.2.2 Nebenbedingungen an Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Konsistenz der Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.4 Vollständiges restringiertes Glättungsproblem . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Restringierte semi-lineare Quadratmittelprobleme . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Vollständiges und reduziertes Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2 Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem . . . . . . . 59 3.3.3 Quantitative Analyse von Subproblem (A) und reduziertem Problem 61 3.3.4 Struktur der Jacobi-Matrix, Kaufman-Approximation . . . . . . . . 63 3.4 Splineglättung mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.1 Die Lösung von Subproblem (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.2 Die Berechnung der Jacobi-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6 Numerische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.6.1 Titanium Heat Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.6.2 Arctan-Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6.3 Volumetric moisture content data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4 Bivariate Tensorprodukt-Splines 83 4.1 Einleitung und Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.1 Darstellung des Zielfunktionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1.2 Vollständiges und reduziertes Approximationsproblem . . . . . . . . 88 4.1.3 Vollständiges und reduziertes Glättungsproblem . . . . . . . . . . . . 88 4.2 Separable Quadratmittelprobleme mit Tensorprodukt-Struktur . . . . . . . 89 4.2.1 Die Fréchet-Ableitung des vollständigen Funktionals . . . . . . . . . 91 4.2.2 Die Fréchet-Ableitung des reduzierten Funktionals . . . . . . . . . . 91 4.2.3 Beziehungen zwischen den Fréchet-Ableitungen . . . . . . . . . . . . 92 4.2.4 Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem . . . . . . . 93 4.3 Bivariate Tensorprodukt-Splines mit freien Knoten . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Numerische Lösung des reduzierten Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.5 Numerische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5.1 Bivariate Titanium Heat Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5.2 EOS Aluminium Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 Zusammenfassung und Ausblick 105 Literaturverzeichnis 108
Abbildungsverzeichnis 2.1 Titanium Heat Data: Startknotenfolge t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Titanium Heat Data: Optimalstelle t ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Beispiel von Hu: Vorgeschalteter Optimierungsschritt ausgehend von äquidistanten inneren Knoten, n = 20, l = 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Beispiel von Hu: Knotenreduktionsalgorithmus, Ergebnis von Stufe II, n = 10, l = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1 Äquivalenz von vollständigem restringierten Glättungsproblem FCSP und reduziertem restringierten Glättungsproblem RCSP . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Titanium Heat Data: Spline s, Startknotenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3 Titanium Heat Data: Spline s, Optimierte Knotenfolge, RCSP-Ka-ED . . . . 76 3.4 Titanium Heat Data: s ′′ zur Startknotenfolge und zur optimierten Knotenfolge (RCSP-Ka-ED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Titanium Heat Data: CONCON (—), RCAP-Ka-ED (- - -), x ∈ [925, 1075] . . 78 3.6 Arctan-Daten: Spline s (—) und Funktion g (- - -), Startknotenfolge . . . . 80 3.7 Arctan-Daten: Erste Ableitungen s ′ (—) und g ′ (- - -), Startknotenfolge . . 81 3.8 Arctan-Daten: Spline s (—) und Funktion g (- - -), optimierte Knoten, RCAP- GP-OD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.9 Volumetric Moisture Content Data: CONCON (—), RCAP-Ka-ED (- - -) . . . 82 4.1 Bivariate Titanium Heat Data: Datenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Bivariate Titanium Heat Data: Spline s, Startknotenfolge . . . . . . . . . . 100 4.3 Bivariate Titanium Heat Data: Optimierte Knoten, NPSOL . . . . . . . . . 100 4.4 Bivariate Titanium Heat Data: Contour-Linien und Knoten vor und nach der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.5 EOS Aluminium Daten: Datenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6 EOS Aluminium Daten: Spline s, Startknotenfolge . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7 EOS Aluminium Daten: Optimierte Knoten, CONSTR . . . . . . . . . . . . 103 4.8 EOS Aluminium Daten: Contour-Linien und Knoten vor und nach der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.9 EOS Aluminium Daten: Verfahren von Walther, monotoner Spline (fit-andmodify) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 iii
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Seite 5: Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzei
Seite 11 und 12: Bezeichnungen Univariate Problemste
Seite 13 und 14: Kapitel 1 Einleitung Although this
Seite 15 und 16: Existieren Lösungen dieses Problem
Seite 17 und 18: des Glättungsfunktionals an Stelle
Seite 19 und 20: Kapitel 2 Univariate Splines 2.1 Ei
Seite 21 und 22: 2.1 Einleitung und historischer Üb
Seite 23 und 24: 2.2 Problemformulierung 11 Definiti
Seite 25 und 26: 2.2 Problemformulierung 13 Die Matr
Seite 27 und 28: 2.2 Problemformulierung 15 mit dem
Seite 29 und 30: 2.2 Problemformulierung 17 Die weit
Seite 31 und 32: 2.2 Problemformulierung 19 Beispiel
Seite 33 und 34: 2.3 Separable Quadratmittelprobleme
Seite 39 und 40: 2.4 Splineglättung mit freien Knot
Seite 45 und 46: 2.5 Numerische Lösung des reduzier
Seite 55 und 56: 2.6 Numerische Tests 43 Knoten habe
Seite 57 und 58:
2.6 Numerische Tests 45 t1 MATLAB R
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2.6 Numerische Tests 47 2.6.3 Ein B
Seite 61 und 62:
2.6 Numerische Tests 49 [Var82] und
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Kapitel 3 Univariate Splines mit Un
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3.2 Problemformulierung 53 nes mit
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3.2 Problemformulierung 55 für x
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3.2 Problemformulierung 57 a) Unter
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3.3 Restringierte semi-lineare Quad
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3.4 Splineglättung mit Nebenbeding
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3.4 Splineglättung mit Nebenbeding
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3.5 Numerische Lösung des reduzier
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3.6 Numerische Tests 75 3.6 Numeris
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3.6 Numerische Tests 77 0.5 0 −0.
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3.6 Numerische Tests 79 t 0 RCSP-Ka
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3.6 Numerische Tests 81 10 9 8 7 6
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Kapitel 4 Bivariate Tensorprodukt-S
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4.1 Einleitung und Problemstellung
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4.1 Einleitung und Problemstellung
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4.2 Separable Quadratmittelprobleme
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4.3 Bivariate Tensorprodukt-Splines
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4.5 Numerische Tests 99 4.5.1 Bivar
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4.5 Numerische Tests 101 1050 1000
Seite 115 und 116:
4.5 Numerische Tests 103 −5 −10
Seite 117 und 118:
Kapitel 5 Zusammenfassung und Ausbl
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d. h. die Monotonie in x-Richtung w
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [ABF86] M. Al-
Seite 123 und 124:
Literaturverzeichnis 111 [Eub88] R.
Seite 125 und 126:
Literaturverzeichnis 113 [Mul90] B.
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