pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

40 Kapitel 2. Univariate Splines
Damit erhalten wir ∂Dr[eκ ]cn = (∂Hr) [eκ ]LrDr−1cn + HrLr (∂Dr−1) [eκ ]cn ∈ Rn−r mit
dem Einheitsvektor eκ ∈ Rl , κ = 1, . . . , l sowie einem beliebigen Vektor cn ∈ Rn . Wir
betrachten nun ∂Hν[eκ ]cn−ν für ν = 1, . . . , r; κ = 1, . . . , l und cn−ν ∈ Rn−ν . Es gilt
(2.41) ∂Hν[e κ ]c n−ν ⎛
⎞
n−ν
= ⎝
∂Hij(t)
cj⎠
∂τp(κ) .
Laut Definition von (Hν) ij = Hij gilt
also
(2.42)
∂Hij(t)
∂τ p(κ)
Hij(t) =
j=1
0 falls i = j,
k−ν
τk+j−τν+j
= 0 falls i = j,
i=1,...,n−ν
falls i = j; i, j = 1, . . . , n − ν,
∂Hjj(t)
∂τ p(κ)
⎧
k−ν
⎪⎨
−
(τk+j−τν+j)
=
⎪⎩
2 falls p(κ) = k + j,
k−ν
(τk+j−τν+j) 2
0
falls p(κ) = ν + j,
sonst.
Mittels (2.41) und (2.42) kann c n−ν direkt mit ∂Hν[e κ ]c n−ν überschrieben werden, wobei
nur zwei Elemente verschieden von Null sind.
Nun sind wir in der Lage, einen Algorithmus zur Berechnung der Ableitung der Matrixfunktion
Dr(.) nach den Knoten anzugeben:
Algorithmus 2.2 (Berechnung von v := ∂Dr[e κ ]α ∈ R n−r ).
v := 0; {(∂D0) [e κ ]α = 0 ∈ R n }
for ν := 1 to r do
begin
end;
v 1 := LνDν−1α; {v 1 = LνDν−1α ∈ R n−ν }
v 1 := (∂Hν) [e κ ]v 1 ; {v 1 = (∂Hν) [e κ ]LνDν−1α ∈ R n−ν }
v 2 := v; {v 2 = (∂Dν−1) [e κ ]α ∈ R n−ν+1 }
v 2 := HνLνv 2 ; {v 2 = HνLν (∂Dν−1) [e κ ]α ∈ R n−ν }
v := v 1 + v 2 ; {v = (∂Dν) [e κ ]α ∈ R n−ν }
Wir betrachten nun die Fréchet-Ableitung der Matrix ˜ Fr, d. h. ∂ ˜ Fr[e κ ]c n−r für κ =
1, . . . , l und c n−r ∈ R n−r . Es gilt
(2.43) ∂ ˜ Fr[e κ ]c n−r ⎛
n−r
= ⎝
Laut Definition von
˜Fr
ij = ˜ Fij gilt
˜Fij(t) =
j=1
∂ ˜ Fij(t)
∂τ p(κ)
0 falls i = j,
τk+j−τr+j
k−r
cj
⎞
⎠
i=1,...,n−r.
falls i = j; i, j = 1, . . . , n − r,