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Kapitel 4
Bivariate Tensorprodukt-Splines
4.1 Einleitung und Problemstellung
In diesem Kapitel verallgemeinern wir die Ergebnisse der Quadratmittelapproximation durch
univariate Splines mit freien Knoten auf den Fall der Approximation mit bivariaten Tensorprodukt-Splines
bei Daten auf Rechteckgittern.
Seien Z = {zi1,i2 : i1 = 1, . . . , m1; i2 = 1, . . . , m2} fehlerbehaftete Meßwerte einer unbekannten
Funktion g ∈ W q1,q2
2 [a1, b1]×[a2, b2], welche auf einem Rechteckgitter [x1, . . . , xm1 ]×
[y1, . . . , ym2 ] gegeben sind, d. h. es gilt
mit den Abszissen
zi1,i2
= g(xi1 , yi2 ) + εi1,i2
a1 = x1 < · · · < xm1
a2 = y1 < · · · < ym2
und den Fehlern εi1,i2 . Die stochastischen Fehler εi1,i2 seien unabhängig und identisch verteilt.
Diese Daten wollen wir durch Tensorprodukt-Splines approximieren. Diese Splines haben
einerseits eine einfache Gestalt und gestatten andererseits, das zweidimensionale Problem
durch zwei Folgen eindimensionaler Probleme zu lösen, sofern die Daten auf einem
Rechteckgitter liegen. Außerdem übertragen sich durch Tensorprodukt-Darstellungen viele
Eigenschaften des Eindimensionalen auf das Zweidimensionale.
Seien S1 und S2 lineare Räume reellwertiger Funktionen, die auf den Mengen X und Y
definiert sind. Das Tensorprodukt zweier Funktionen s1 ∈ S1 und s2 ∈ S2 ist eine Funktion
auf X × Y, die durch
= b1
= b2
(4.1) s 1 ⊗ s 2 (x, y) := s 1 (x) · s 2 (y) x ∈ X, y ∈ Y
definiert ist. Das Tensorpodukt S1 ⊗ S2 der linearen Funktionenräume S1 und S2 wird dann
als die Menge aller endlichen Linearkombinationen der Form (4.1) definiert, d. h.
⎧
⎨ n 1
S1 ⊗ S2 := αj sj ⊗ s
⎩
2
j : αj ∈ R, s 1
j ∈ S1, s 2
⎫
⎬
j ∈ S2, j = 1, . . . , n
⎭ .
j=1
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