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18 Kapitel 2. Univariate Splines Bezeichne also l die Anzahl der freien Knoten und sei der Vektor der freien Knoten, wobei t = T l τp(1), . . . , τp(l) ∈ R p = (p(1), . . . , p(l)) T ∈ Z l die Indizes der freien Knoten enthält. Der Indexvektor p erfülle die Bedingung (2.12) k < p(1) < · · · < p(l) < n + 1. Bedingung (2.12) besagt, daß nur die inneren Knoten τk+1, . . . , τn als freie Knoten zugelassen sind. Diese Beschränkung erscheint wegen der besonderen Wahl der Knoten (2.1) natürlich, da Informationen über das Meßintervall [a, b] zumeist vorliegen. Es gilt l ≤ n − k. Vereinbarung Da im weiteren nur die freien Knoten verändert werden, wird die Abhängigkeit der Größen von den Knoten τ durch den Vektor t der freien Knoten kenntlich gemacht. Falls aus dem Zusammenhang deutlich wird, auf welche Knoten sich die Größen beziehen, verzichten wir gegebenenfalls auch auf die gesonderte Kennzeichnung der freien Knoten, z.B. B(τ ) → B(t) → B. 2.2.4 Anordnungsbedingung für die freien Knoten Ein absolutes Distanzmaß Für eine Knotenfolge τ muß laut Definition gelten τj+1 − τj ≥ 0, j = 1, . . . , n + k − 1. Da bei der Minimierung des Glättungsfunktionals nur die freien Knoten t verändert werden, lautet diese Bedingung (2.13) τ p(j) − τ p(j)−1 ≥ 0 τ p(j)+1 − τ p(j) ≥ 0 j = 1, . . . , l. Für die numerische Praxis ist diese Bedingung ungünstig ((2.6) bzw. (2.7) wird nicht gesichert). Wir fordern daher (2.14) τ p(j) − τ p(j)−1 ≥ ɛ τ p(j)+1 − τ p(j) ≥ ɛ j = 1, . . . , l mit einer vorgegebenen Konstanten ɛ > 0. Die Konstante ɛ sollte in Abhängigkeit von der mittleren absoluten Distanz zweier benachbarter Knoten gewählt werden und wird daher als absolutes Distanzmaß bezeichnet. Bedingung (2.14) kann äquivalent in Matrixform Ct ≥ h mit C ∈ R ncstr,l , t ∈ R l , h ∈ R ncstr angegeben werden. Die Anzahl der linear unabhängigen Nebenbedingungen sei ncstr. Die Matrix C und der Vektor h hängen von der Lagebeziehung der Knoten ab, d. h. ob der linke oder rechte Nachbarknoten frei oder fest ist, und können leicht algorithmisch erzeugt werden. Zur Illustration möge ein kleines Beispiel dienen:
2.2 Problemformulierung 19 Beispiel 2.1. k = 4, n = 9, l = 4, p(1) = 5, p(2) = 6, p(3) = 7, p(4) = 9 τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 ⎡ ⎢ ⎣ 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦ τ5 τ6 τ7 τ9 ⎤ ⎥ ⎦ ≥ ⎡ ⎢ ⎣ τ4 + ɛ ɛ ɛ −τ8 + ɛ τ8 + ɛ −τ10 + ɛ Es gilt l+1 ≤ ncstr ≤ 2l. Die Matrix C enthält maximal zwei Nichtnullelemente in jeder Zeile. Mit der Wahl eines beliebig kleinen, aber positiven ɛ ist – zumindest theoretisch in rundungsfehlerfreier Arithmetik – die maximale Glattheit des Splines an den Stellen τ p(j), j = 1, . . . , l, sichergestellt, da die freien Knoten dann einfache Knoten sind. Ein relatives Distanzmaß Bisher betrachteten wir die Anordnungsbedingung (2.13) bzw. (2.14), um das Zusammenfallen von Knoten zu verhindern. Der Nachteil der Bedingung (2.14) ist, daß ɛ eine absolute minimale Distanz zwischen den Knoten vorschreibt und deshalb i. allg. schwierig zu wählen ist, insbesondere bei sehr ungleichmäßig verteilten Knoten. Besser ist die folgende relative Bedingung, welche auch von de Boor/Rice [dBR68] ver- wendet wird. Sie verlangen, daß τ p(j)−1 + ɛ τ p(j)+1 − τ p(j)−1 ⎤ ⎥ ⎦ τ10 τ11 τ12 τ13 ≤ τp(j) ≤ τp(j)+1 − ɛ τp(j)+1 − τp(j)−1 , d. h. die relative Distanz aufeinanderfolgender Knoten wird nach unten beschränkt gemäß τp(j) − τp(j)−1 ≥ ɛ τp(j)+1 − τp(j)−1 τp(j)+1 − τp(j) ≥ ɛ (2.15) τp(j)+1 − τp(j)−1 j = 1, . . . , l. Als relatives Distanzmaß wird von de Boor/Rice ɛ = 0.0625 gewählt. Auch hier soll zur Illustration ein Beispiel dienen: Beispiel 2.2. k = 4, n = 9, l = 4, p(1) = 5, p(2) = 6, p(3) = 7, p(4) = 9 τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 ⎡ ⎢ ⎣ 1 −ɛ −1 1 − ɛ ɛ − 1 1 −ɛ ɛ −1 1 − ɛ ɛ − 1 1 ɛ −1 1 −1 ⎤ ⎥ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦ τ5 τ6 τ7 τ9 ⎤ ⎥ ⎦ ≥ ⎡ ⎢ ⎣ (1 − ɛ) τ4 −ɛ τ4 0 0 ɛ τ8 (ɛ − 1) τ8 (1 − ɛ) τ8 + ɛ τ10 −ɛ τ8 + (ɛ − 1) τ10 ⎤ ⎥ ⎦ τ10 τ11 τ12 τ13
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4.5 Numerische Tests 101 1050 1000
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Kapitel 5 Zusammenfassung und Ausbl
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d. h. die Monotonie in x-Richtung w
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