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Kapitel 2
Univariate Splines
2.1 Einleitung und historischer Überblick
Es gibt eine Fülle von Arbeiten zur Bestapproximation von Funktionen durch Splines mit
freien Knoten, insbesondere zur Chebyshev-Approximation. Eine vollständige Charakterisierung
von (eindeutigen) Bestapproximationen ist jedoch auch im Fall der Chebyshev-
Approximation durch Splines mit freien Knoten bisher nicht bekannt [Nür96]. Zur numerischen
Berechnung einer guten Splineapproximation mit freien Knoten wird ein zweistufiges
Verfahren vorgeschlagen, siehe [MNSS89]. Im ersten Schritt werden freie Knoten bei
stückweisen Polynomen (ohne Glattheitsforderungen) bestimmt. Die als Ergebnis dieses
Segmentapproximationsproblems erhaltenen guten Knoten verwendet man nun zur Konstruktion
eines bestapproximierenden Splines mit festen Knoten. Es sei bemerkt, daß die
Chebyshev-Approximation im Rahmen unserer statistischen Grundvoraussetzungen ungeeignet
ist, da sie sehr empfindlich auf Ausreißer reagiert.
Einfache Beispiele zeigen, daß das Problem der Bestapproximation durch Splines mit
freien Knoten in der Menge der Splines mit einfachen Knoten nicht immer lösbar ist. Dagegen
existiert stets eine Lösung, wenn man mehrfache Knoten zuläßt. Das erste Existenztheorem
geht auf [Ric69] zurück und besagt, daß für jede Funktion g ∈ Lp[a, b], 1 ≤ p ≤ ∞, eine
beste Lp-Approximation im Raum der Splines mit freien (eventuell mehrfachen) Knoten
existiert.
Charakteristisch für die Approximation durch Splines mit freien Knoten – oder allgemeiner
die Approximation mit γ-Polynomen – ist das „Lethargie-Syndrom“ [Jup75]. Die
Konsequenzen dieser Eigenschaft sind
• die
Existenz vieler stationärer Punkte von ϕ auf dem Rand des zulässigen
Bereichs
τ ∈ Rn+k : τ1 = · · · = τk = a < τk+1 ≤ · · · ≤ τn < b = τn+1 = · · · = τn+k ,
• die Nichtkonvexität von ϕ als Funktion der Knoten sowie
• das schlechte Konvergenzverhalten von Algorithmen in der Nähe des Randes des zulässigen
Bereichs.
Im Gegensatz zur Approximation von Funktionen durch Splines mit freien Knoten wollen
wir uns in dieser Arbeit mit der Approximation von Daten beschäftigen. In dem Vorliegen
von lediglich diskreter Information liegt eine zusätzliche Schwierigkeit begründet: Beim Fehlen
von Information, d. h. fehlende Datenpunkte {xi, yi} innerhalb von einigen Intervallen,
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