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4.1 Einleitung und Problemstellung 87
Der vec-Operator vec : R m,n → R m·n ist definiert durch
vec (A) := (a11, . . . , am1, a12, . . . , am2, . . . , a1n, . . . , amn) T ∈ R m·n
für Matrizen A ∈ R m,n .
Die folgenden Rechenregeln, siehe etwa [Die93, S. 169ff] und [Bjö96, S. 336ff], fassen die
wichtigsten Eigenschaften von vec-Operator und Kronecker-Produkt zusammen.
(A ⊗ B) T = A T ⊗ B T
(A ⊗ B) −1 = A −1 ⊗ B −1
(A ⊗ B) + = A + ⊗ B +
(AB) ⊗ (CD) = (A ⊗ C) · (B ⊗ D)
vec (Ap,sXs,t) = (It ⊗ A) vec (X)
vec (Xs,tBt,q) = (B T ⊗ Is) vec (X)
vec (Ap,sXs,tBt∗q) = (B T ⊗ A) vec (X)
(A + B) ⊗ (C + D) = A ⊗ C + B ⊗ C + A ⊗ D + B ⊗ D
Unter Benutzung dieser Rechenregeln zeigt man leicht den Zusammenhang AXB − C 2
F =
BT ⊗ A vec (X) − vec (C) 2 . Damit ist Problem (4.5a) äquivalent zu
2
(4.6)
1
2 vec (Z) − (B2(τ 2 ) ⊗ B1(τ 1 )) vec (A) 2
2 → min
vec(A)∈Rn1n ,
2
dessen Normallösung Aopt(τ 1 , τ 2 ) bei festen Knoten τ 1 und τ 2 durch vec (Aopt) = (B2 ⊗
B1) + vec (Z) = (B + 2 ⊗ B+ 1 ) vec (Z) = vec B + 1 Z(B+ 2 )T ) , also
(4.7a) Aopt(τ 1 , τ 2 ) := B1(τ 1 ) + Z B2(τ 2 ) + T
gegeben ist. Sie kann durch aufeinanderfolgende Lösung der beiden folgenden univariaten
Quadratmittelprobleme berechnet werden
(F)
(A)
1
2 Z − B1(τ 1 )F 2
F
1
F
2
T − B2(τ 2 )A T 2 F
→ min
F∈Rn1 ,m , F = B1(τ
2
1 ) + Z,
→ min
A∈Rn1 ,n , A
2
T = B2(τ 2 ) + F T .
Analog erhält man die Normallösung zum Problem (4.5b)
(4.7b) Aopt(τ 1 , τ 2 ) :=
B1(τ 1 )
√ µ1S 1 r1 (τ 1 )
+ Z 0
0 0
B2(τ 2 )
√ µ2S 2 r2 (τ 2 )
+ T
welche durch aufeineinderfolgende Lösung der folgenden Quadratmittelprobleme berechnet
werden kann
1
Z 0
B1(τ
2 −
0 0
1 )
√
µ1S1 r1 (τ 1
2
F
) → min
F F∈Rn1 ,m2 +n2−r (F)
,
2
1
2 FT
B2(τ
−
2 )
√
µ2S2 r2 (τ 2
A
)
T
2
→ min
A∈Rn1 ,n (A)
.
2
Allgemeine Untersuchungen zur Strukturausnutzung bei großen linearen Quadratmittelproblemen,
welche auf Kronecker-Produkten beruhen, findet man in [FF94].
F
,