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3.4 Splineglättung mit Nebenbedingungen 65
Hauptsatz der Störungstheorie von Fiacco. Aussagen über die stetig differenzierbare Abhängigkeit
der Lösung von den Störungen benötigen die strikte Komplementarität. Man kann
jedoch zeigen, siehe [Dan73], daß für die Lösung der quadratischen Optimierungsprobleme
x ∗ = argmin b T x + 1
˜x ∗
= argmin ˜b T 1 x + 2xT Ãx : ˜ H T x + ˜ h 0 = 0, ˜ G T x + ˜g 0 ≥ 0, x ∈ R n
2 xT Ax : H T x + h 0 = 0, G T x + g 0 ≥ 0, x ∈ R n
die Beziehung
˜x ∗ − x ∗
≤ C max A − Ã, H − ˜ H, G − ˜ G, b − ˜ b, h 0 − ˜ h 0 , g 0 − ˜g 0
gilt, wenn die Störungen A − Ã, . . . nur hinreichend klein sind (A symmetrisch, positiv
definit, H spaltenregulär, ∃ x0 : GT x0 + g0 > 0 (Slater-Bedingung)).
Satz 3.5 (Lineare Unabhängigkeit der Gradienten der Nebenbedingungen).
Sei τj < τj+k−p (j = p + 1, . . . , n) und seien
Dp(t)
L
g = g(α; t) :=
α − ≥ 0
−Dp(t) −U
die Nebenbedingungen von Subproblem (A). Die Gradienten der aktiven Nebenbedingungen
sind linear unabhängig, d. h.
¯R := − ∇αg T
Dp(t)
i = −
∈ R i∈I −Dp(t)
nact,n
hat Vollrang rank ¯ R = nact = #I genau dann, wenn die strikte Konsistenzbedingung
Li < Ui (i = 1, . . . , n − p) (L < U) gilt.
Beweis. In einem ersten Schritt betrachten wir die Nebenbedingung g = Dp(t)α − L ≥
0. Offensichtlich sind die Gradienten der aktiven Nebenbedingungen linear unabhängig,
wenn alle Zeilen von Dp linear unabhängig sind, d. h. rank Dp = n − p. Da Dp eine obere
Dreiecksmatrix ist, gilt
rank Dp = n − p ⇐⇒ (Dp) ii = 0 (i = 1, . . . , n − p).
Aus (2.4) folgt die lineare Unabhängigkeit der Gradienten der Nebenbedingungen zu g =
Dp(t)α − L ≥ 0, falls τj < τj+k−p (j = p + 1, . . . , n).
Betrachten wir nun die ursprünglichen Nebenbedingungen. Offensichtlich kann im Fall
Li < Ui eine Nebenbedingung entweder an Li oder an Ui aktiv werden, aber niemals gleichzeitig.
Die Matrix ¯ R enthält deshalb keine zwei identischen Zeilen von Dp (identisch bis
auf einen Faktor −1). Daher sind die Zeilen von ¯ R linear unabhängig, falls τj < τj+k−p
(j = p + 1, . . . , n). Umgekehrt enthält ¯ R im Fall Li = Ui zwei bis auf Vorzeichen identische
Zeilen von Dp, d. h. ¯ R hat keinen Vollrang.
Bemerkung 3.1. Man beachte, daß die Bedingung l (p)
i
i∈I
< u(p)
i für die Nebenbedingung l (p)
i ≤
s (p) (x) ≤ u (p)
i für alle x ∈ [τ,τi+1), (i = k, . . . , n) nicht hinreichend für die strikte Konsistenz
der Nebenbedingungen ist, ja noch nicht einmal hinreichend für die Konsistenz, siehe die
Beispiele 3.1–3.3. In unserem Fall ist die strikte Konsistenzbedingung äquivalent zur Slater-
Bedingung, d. h. ∃α 0 ∈ R n mit g(α 0 ; t) > 0.