pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

3.2 Problemformulierung 57
a) Untere Schranken j = ι − 1 ist der letzte Index, für welchen gilt ι − 1 ∈ Wj. Es gilt
Wι−1 = {ι − 1, . . . , ι + k − p − 2}, L (p)
ι−1 = 0 sowie Wι = {ι, . . . , ι + k − p − 1}, L (p)
ι−1 = −∞.
b) Obere Schranken j = κ − k + p + 1 ist der erste Index, für welchen gilt κ ∈ Wj. Es
gilt Wκ−k+p = {κ − k + p, . . . , κ − 1}, U (p)
κ−k+p = +∞, Wκ−k+p+1 = {κ − k + p + 1, . . . , κ}
und U (p)
κ−k+p+1 = 0. Die Nebenbedingungen sind also genau dann strikt konsistent, wenn
ι − 1 < κ − k + p + 1, d. h. κ − ι ≥ k − p − 1.
Lemma 3.1 (Strikte Konsistenz der Nebenbedingungen).
Sei κ − ι ≥ k − p − 1 und ι ≤ κ. Für die Nebenbedingung
gilt dann
L (p)
j
L (p)
j
s (p) (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, tι) und s (p) (x) ≤ 0 für alle x ∈ [tκ, b)
= 0, j = p + 1, . . . , ι − 1, U (p)
j
= −∞, j = ι, . . . , n, U (p)
j
Die strikte Konsistenzbedingung L < U ist erfüllt.
Beispiel 3.4 (Strikte Konsistenz für kubische Splines).
p = 0: κ ≥ ι + 3
tι tι+1 tι+2 tι+3
= +∞, j = p + 1, . . . , κ − k + p,
= 0, j = κ − k + p + 1, . . . , n.
s(x) ≥ 0 s(x) ≤ 0
p = 1: κ ≥ ι + 2
s ′ (x) ≥ 0 s ′ (x) ≤ 0
p = 2: κ ≥ ι + 1
tι tι+1 tι+2
s ′′ (x) ≥ 0 s ′′ (x) ≤ 0
p = 3: κ ≥ ι
tι
tι
tι+1
s ′′′ (x) ≥ 0 s ′′′ (x) ≤ 0