pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

3.3 Restringierte semi-lineare Quadratmittelprobleme 61
3.3.3 Quantitative Analyse von Subproblem (A) und reduziertem Problem
Zur späteren Beschreibung der Lösungsmethode benötigen wir selbstverständlich neben der
Äquivalenz der Probleme eine genaue quantitative Analyse von Subproblem (A) und reduziertem
Problem, insbesondere Gradient, Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix des reduzierten
Funktionals f.
Für die Lagrange-Funktion l von Subproblem (A) haben wir
l(α, u; t) := 1
2 y − B(t)α2 − u T g(α; t)
mit den Lagrange-Parametern u ∈ R 2(n−p)
+ und dem Vektor der Nebenbedingungen
Dp(t)
L
g = g(α; t) :=
α − ∈ R
−Dp(t) −U
2(n−p) .
Die vorzeichenbehafteten Gradienten der Nebenbedingungen sind
R := − (∇αg) T
Dp(t)
= −
∈ R
−Dp(t)
2(n−p),n ,
Γ := − (∇tg) T T Dp(t)
= − ∇t
α ∈ R
−Dp(t)
2(n−p),l .
Größen, welche zu aktiven Nebenbedingungen von Subproblem (A) gehören, werden wir
im weiteren durch einen Strich kennzeichnen, z.B. ¯ R := − (∇αgi) T
i∈I ∈ Rnact,n , ¯ Γ :=
− (∇t¯gi) T
i∈I ∈ Rnact,l , wobei I := {i ∈ {1, . . . , 2(n − p)} | gi(α; t) = 0} und nact := #I die
Indexmenge und Anzahl der aktiven Restriktionen bezeichnen.
Sei ∂ = ∇T t der Operator der Fréchet-Ableitung bez. t. Auf Grund der Regularitätsbedingung
3(b) von Theorem 3.1 hat die Matrix ¯ R vollen Zeilenrang nact. Sei N ∈ Rn,n−nact eine Basis für den Nullraum von ¯ R, und sei ¯ R + die Moore-Penrose-Inverse von ¯ R. Parks
zeigt, daß für allgemeine reduzible nichtlineare Optimierungsprobleme gilt
∇2
¯
αl RT
∂α ∇2 = − αtl (3.17)
¯R 0 ∂ū
¯Γ
mit
(3.18)
und
∇2 ¯
αl RT ¯R 0
−1
=
W11 W12
W T 12 W22
W11 = N N T ∇ 2 αl N −1 T n,n
N ∈ R
W12 = 2
I − W11 ∇αl R ¯ + n,nact
∈ R
2
∇αl W12 ∈ R nact,nact .
W22 = −W T 12
Sie erhält damit Gradient und Hesse-Matrix des reduzierten Funktionals [Par85, Lemma 4.4,
4.6] im allgemeinen Fall.