pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

4.2 Separable Quadratmittelprobleme mit Tensorprodukt-Struktur 91
4.2.1 Die Fréchet-Ableitung des vollständigen Funktionals
Sei ∂1 der Operator der Fréchet-Ableitung bez. t1 . Mittels Lemma 4.1 erhalten wir
∂1f(t 1 , t 2 , A)[∆t 1
] = tr (∂1F(t 1 , t 2 , A)[∆t 1 ]) T F(t 1 , t 2
, A) .
Im folgenden werden wir das Argument der Matrixfunktionen B1 und B2 zwecks Vereinfa-
chung der Schreibweise weglassen.
Offensichtlich gilt ∂1F(t 1 , t 2 , A)[∆t 1 ] = −∂1B1[∆t 1 ]AB T 2
∂1f(t 1 , t 2 , A)[∆t 1 ] = tr
. Damit haben wir
−∂1B1[∆t 1 ]AB T T
2 Z − B1AB T
2
,
also schließlich den folgenden Ausdruck für die Fréchet-Ableitung des vollständigen Funktionals
bez. t1 (4.17) ∂1f(t 1 , t 2 , A)[∆t 1
] = − tr B2A T (∂1B1[∆t 1 ]) T Z − B1AB T
2
.
Sei ∂2 der Operator der Fréchet-Ableitung bez. t 2 . Unter Benutzung der Darstellung
mit F(t 1 , t 2 , A) := B1AB T 2
f(t 1 , t 2 , A) = 1
2 F(t1 , t 2 , A) 2
F
∂2f(t 1 , t 2 , A)[∆t 2 ] = tr
− Z erhalten wir aus Lemma 4.1
1
=
2 tr F(t 1 , t 2 , A)F(t 1 , t 2 T
, A)
F(t 1 , t 2 , A) (∂2F(t 1 , t 2 , A)[∆t 2
T
]) .
Es gilt ∂2F(t 1 , t 2 , A)[∆t 2 ] = B1A (∂2B2[∆t 2 ]) T und daher
(4.18) ∂2f(t 1 , t 2 , A)[∆t 2 ] = tr B1AB T 2 − Z (∂2B2[∆t 1 ]) A T B T 1
für die Fréchet-Ableitung des vollständigen Funktionals bez. t 2 .
4.2.2 Die Fréchet-Ableitung des reduzierten Funktionals
Wir berechnen nun die Fréchet-Ableitung des reduzierten Funktionals f bez. t1 . Wir erhalten
zunächst wegen Lemma 4.1
∂1f(t 1 , t 2 )[∆t 1 ] = tr
(∂1F(t 1 , t 2 )[∆t 1 ]) T F(t 1 , t 2
)
und mit Lemma 2.6 für die Fréchet-Ableitung der Residuumsfunktion
Es folgt
∂1F(t 1 , t 2 )[∆t 1 ] =
∂1f(t 1 , t 2 )[∆t 1 ] =
− tr
= −
P T B2 ZT
∂1P ⊥ B1 [∆t1 ]
ZPB2
P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B + 1 +
P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B +
T
ZPB2 1 .
P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B + 1 +
P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B +
T
1 P ⊥ B1ZPB2