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2.2 Problemformulierung 11
Definition 2.3 (Spline, Splineraum). Die Menge Sk,τ
:= j Bj,k,τ
αj , αj ∈ R heißt
Splineraum der Ordnung k bezüglich der Knotenfolge τ . Die Elemente s ∈ Sk,τ
Splines.
heißen
Der folgende klassische Satz der Splinetheorie zeigt den Zusammenhang zwischen Knotenvielfachheit
und Glattheit sowie die lineare Unabhängigkeit der B-Splines.
Satz 2.1 (Curry, Schoenberg, zitiert nach [dBH87]).
Wenn τj < τj+k für alle j gilt, dann sind die B-Splines Bj,k,τ linear unabhängig und bilden
eine Basis für den Raum ˜ S aller stückweisen Polynome vom Grade kleiner als k mit
Bruchstellen τj, welche in den Bruchstellen (k − 1 − #τj)-mal stetig differenzierbar sind. Es
gilt:
Anzahl der Glattheitsbedingungen in τj + Knotenvielfachheit #τj = Ordnung k.
Spezialisierung auf ein endliches Intervall
Da jeder B-Spline wegen supp Bj,k,τ = [τj, τj+k] nur einen endlichen Träger besitzt, genügt
es, sich auf ein endliches Intervall zu beschränken. Wir betrachten daher im folgenden
ausschließlich die (finite) Knotenfolge τ = (τ1, . . . , τn+k) T ∈ R n+k . Dabei sei n eine fest
vorgegebene Anzahl von B-Splines.
Später werden wir B-Splines benutzen, um gegebene Daten {xi, yi}, i = 1, . . . , m, zu
approximieren. Die Meßstellen xi befinden sich innerhalb des gegebenen Intervalls [a, b] ⊂ R.
Wir beschränken uns daher auf die Knoten
(2.1a)
mit
(2.1b)
sowie
(2.1c)
τ = (τ1, . . . , τn+k) T ∈ R n+k
τ1 ≤ · · · ≤ τk ≤ a und b ≤ τn+1 ≤ · · · ≤ τn+k
a < τk+1 ≤ · · · ≤ τn < b.
Die Knoten τk+1, . . . , τn werden als innere Knoten bezeichnet. Es gelte stets τj < τj+k,
j = 1, . . . , n, d. h. #τj < k. Stärkere Glattheitsforderungen, etwa einfache innere Knoten
#τj = 1, j = k + 1, . . . , n, werden an späterer Stelle diskutiert.
Für die Randknoten τ1, . . . , τk und τn+1, . . . , τn+k gelte speziell
(2.1d) τ1 = · · · = τk = a und b = τn+1 = · · · = τn+k.
Diese Bedingung ist nach [Cox82] günstig für die Kondition der auftretenden Matrizen. Da
bei dieser Wahl s(a) = α1 und s(b) = αn gilt, eignet sie sich insbesondere für die Berücksichtigung
von Randbedingungen. Die Bedingung (2.1d) ist für die weiteren Ausführungen
nicht wesentlich.
Wir betrachten jetzt die Einschränkung von Sk,τ auf [a, b]
⎧
⎫
⎨
n
⎬
Sk,τ := s : s(x) = Bj,k,τ (x)αj, x ∈ [a, b], αj ∈ R
|[a,b] ⎩ ⎭ .
j=1