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74 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Algorithmus 3.2 (Berechnung der Jacobi-Matrix, Kaufman-Approximation).S1: Berechne QR-Faktorisierung
mittels zeilenweiser Givens-Drehungen
Q T
R0
0 B = , B ∈ R
0
m,n
S2: Berechne QR-Faktorisierung mittels zeilenweiser Givens-Drehungen
˜Q T
R0
√
µSr
˜R
= ,
0
R0
√
µSr
∈ R 2n−r,n
S3: Berechne α(t) als Lösung von
min
1
2
y
0
−
B(t)
√ µSr(t)
α(t)
2
: L ≤ Dp(t)α ≤ U : α ∈ R n
unter Benutzung der QR-Faktorisierungen aus S1 und S2, siehe [SK93]
S4: Setze
¯R
Dp(t)
:= −
−Dp(t)
i∈I
∈ R nact,n
S5: Berechne QR-Faktorisierung mittels Householder-Transformationen
Q T 1 ¯ R T
T Q11 =
¯R T
R1
=
0
,
Q T 12
S6: N := Q12 ∈ R n,n−nact Basis des Nullraums von ¯ R
¯ R T ∈ R n,nact
S7: Berechne QR-Faktorisierung mittels Householder-Transformationen
S8: for κ := 1 to l do
Q T 2
S8.1: Berechne v 1 := Jte κ = −∂
˜RN =
R2
0
B(t)
√ µSr(t)
S8.2: Berechne v 2 := ¯ Γe κ = −∂ ¯ R(t) [e κ ] α(t) ∈ R nact ;
,
˜ RN ∈ R n,n−nact
[e κ ] α(t) ∈ R m+n−r ;
S8.3: Löse das System R T 1 R1v 3 = v 2 ; (R1 reguläre obere Dreiecksmatrix, v 3 ∈ R nact );
S8.4: v 4 := ¯ R T v 3 ∈ R n ;
S8.5: v5
:=
B
√ µSr
v 4 ∈ R m+n−r ;
S8.6: v 6 := v 1 + v 5 ∈ R m+n−r ;
S8.7: Berechne v 7 ∈ R m+n−r
v 7 =
S8.8: JKe κ := v 7 ;
Im+n−r −
B
√ µSr
˜R −1 Q2
I 0
0 0
Q T 2 ˜ R −T
B
√ µSr
Wenn die Kaufman-Approximation in der obigen Weise berechnet wird, so nennen wir
das Verfahren RCSP-Ka-ED (reduced constrained smoothing problem, Kaufman model, exact
derivatives). Analog verfahren wir bei der Berechnung über finite Differenzen RCSP-GP-
OD (reduced constrained smoothing problem, Golub/Pereyra model, outer discretization).
T
v 6 ;