pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Dissertation werden Verfahren zur diskreten Quadratmittelapproximation durch
Splines mit freien Knoten vorgestellt. Wir wählen dabei den direkten Zugang zur Splinetheorie
und verwenden a priori den Raum Sk,τ der polynomialen Splines der Ordnung k
zu den Knoten τ . Als Basis für diesen Raum benutzen wir die bekannten polynomialen B-
Splines. Diese Wahl gestattet eine stabile Berechnung des Splines und liefert Matrizen mit
Bandstruktur für die entsprechenden Optimierungsprobleme. Die Parameter des Splines,
d. h. die Koeffizienten und (freien) Knoten, werden nun so bestimmt, daß das Schoenberg-
Funktional minimal wird. Durch die Betrachtung von Splines mit freien Knoten erreicht
man insbesondere bei Daten von nichtglatten Funktionen eine wesentliche Verbesserung
der Approximation.
In Kapitel 2 untersuchen wir zunächst die Glättung durch univariate Splines mit freien
Knoten ohne Nebenbedingungen an Ableitungen. Nachdem das Schoenberg-Funktional in
Abhängigkeit von Koeffizienten und freien Knoten ausgedrückt wurde, formulieren wir Anordnungsnebenbedingungen
an die Knoten, welche das Zusammenfallen der Knoten verhindern.
Unter Benutzung von Ergebnissen der Theorie separabler Quadratmittelprobleme wird
ein reduziertes Problem in den freien Knoten entwickelt. Durch Verwendung des Schoenberg-
Funktionals an Stelle des Quadratmittelfehlers kann die Äquivalenz von vollständigem und
reduziertem Problem unabhängig von der Lage der Knoten gezeigt werden. Das reduzierte
Problem wird schließlich mit einem verallgemeinerten Gauß-Newton-Verfahren gelöst,
wobei der effizienten Berechnung der Residuumsfunktion und der Jacobi-Matrix besondere
Bedeutung zukommt, insbesondere im Hinblick auf die Ausnutzung der Bandstruktur. Der
Algorithmus zur Optimierung der Lage der Knoten wird mit einem Datenreduktionsalgorithmus
kombiniert.
Kapitel 3 liefert den Hauptbeitrag dieser Arbeit. Es beschäftigt sich mit der Minimierung
des Schoenberg-Funktionals unter Beachtung von Schrankennebenbedingungen an Ableitungen.
Wir verwenden hinreichende Bedingungen, welche linear in den Koeffizienten sind.
Nachdem zunächst die numerische Berechnung des restringierten Splines zu festen Knoten
zusammengefaßt wird, untersuchen wir Bedingungen, welche die strikte Konsistenz der Nebenbedingungen
sichern. Unter Verwendung von Ergebnissen aus [Par85] für restringierte
semi-lineare Quadratmittelprobleme kann ebenfalls die Äquivalenz der Probleme nachgewiesen
werden. Da die Struktur der Jacobi-Matrix im restringierten Fall sehr kompliziert
ist, verwenden wir eine Approximation, welche wesentlich billiger zu berechnen ist und
außerdem die Ausnutzung der Schwachbesetztheit erlaubt. Es wird gezeigt, daß diese Ap-
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