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3.3 Restringierte semi-lineare Quadratmittelprobleme 63
Lemma 3.3 (Jacobi-Matrix des reduzierten Funktionals).
Die Jacobi-Matrix J(t) = ∂F(t) von F(t) = y − B(t)α(t) ist gegeben durch
J(t) = P ⊥
BN(t) Jt(t) + B(t) ¯ R + (t) ¯
Γ(t) + PBN(t) (B(t)N(t)) +T T
N (t)K(t),
wobei K(t) = K(α(t), t) und K(α, t) := −∂B T (t) (y − B(t)α) + ∂R T (t)u.
Für die Residuumsfunktion des reduzierten Funktionals erhält man nach [Par85, Lemma
6.1] (dort ist F(α, t) = B(t)α − y!):
Lemma 3.4 (Residuumsfunktion des reduzierten Funktionals).
F(t) = P ⊥
BN(t) y − B(t) ¯ R + (t) ¯
ξ
mit ξ ¯ L
:= −
−U
3.3.4 Struktur der Jacobi-Matrix, Kaufman-Approximation
i∈I
∈ R nact .
In den letzten Aussagen kann man mit den bisherigen Bezeichnungen eine Struktur nur
schwer erkennen. Wir definieren daher
ψ := Jt + B ¯ R + ¯ Γ, φ := (BN) + T N T K, v := y − B ¯ R +¯ ξ.
Mit P = PBN lauten die letzten Aussagen in den neuen Bezeichnungen F = P⊥v und J =
P⊥ +
ψ + Pφ. Der Term Pφ = PBN (BN) T NT K erschwert die Berechnung der Jacobi-
Matrix enorm, insbesondere die Ausnutzung der Schwachbesetztheitsstruktur. Glücklicherweise
gilt
J T
T
F = ψ P ⊥ T
P ⊥ v und J T
T
J = ψ P ⊥ T
P ⊥ ψ + φ T P T Pφ,
d. h. der Term Pφ trägt nicht zum Gradienten J T F bei und sein Beitrag zu J T J ist
φ T P T Pφ, wie Parks bemerkt. Eine Untersuchung der Größenordnung dieses Terms fand
nicht statt. Im unrestringierten Fall gilt darüberhinaus φ T P T Pφ = O(y − Bα 2 ), so daß
dieser Term im Rahmen von Gauß-Newton-Verfahren vernachlässigt werden kann, vgl. die
Arbeit von Kaufman [Kau75]. Wir verallgemeinern diese Philosophie auf den restringierten
Fall und definieren
Definition 3.3 (Kaufman-Approximation). Die Approximation
Jt + B ¯ R +
Γ¯ m,l
∈ R
JK := P ⊥ ψ = P ⊥ BN
für die Jacobi-Matrix
J = P ⊥ ψ + Pφ = P ⊥
BN Jt + B ¯ R +
Γ¯ ⊥ +
+ PBN (BN) T T
N K
des reduzierten Funktionals heißt Kaufman-Approximation.
Im weiteren verwenden wir diese billiger zu berechnende Approximation an die Jacobi-
Matrix und untersuchen sowohl den qualitativen als auch quantitativen Einfluß dieser Approximation.
Die theoretischen Ergebnisse aus [Par85] werden nach jüngsten Aussagen der
Autorin T. A. Parks erstmals praktisch umgesetzt und numerisch getestet.