pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.4 Splineglättung mit freien Knoten 31
also
∂
Bj,k,τ
Bj,k+1,τ ′ = k
∂x ′
τ ′ j+k − τ ′ j
−
Bj+1,k,τ ′
τ ′ j+k+1 − τ ′ j+1
Im weiteren setzen wir voraus, daß die Vielfachheit von τj0 gleich 1 ist (#τj0 = 1). Da
wir ausschließlich die Ableitung eines Splines nach den freien Knoten benötigen, ist diese
Voraussetzung erfüllt, falls die freien Knoten einfache Knoten sind (bzw. einfache Knoten
bleiben). Wir erhalten damit
(2.33)
∂
∂τj0
Bj,k,τ = − 1
k k
Bj,k,τ ′
τ ′ j+k − τ ′ j
= Bj+1,k,τ ′
τ ′ j+k+1 − τ ′ j+1
−
−
Bj+1,k,τ ′
τ ′ j+k+1 − τ ′ j+1
Bj,k,τ ′
τ ′ j+k − τ ′ j
.
für j < j0 < j + k.
Zur Berechnung von ∂s/∂τj0 benötigen wir noch ∂Bj,k,τ /∂τj0 für j0 ≤ j und j + k ≤ j0. Da
in die Definition von Bj,k,τ nur die Knoten τj, . . . , τj+k eingehen, gilt
(2.34)
∂Bj,k,τ
∂τj0
≡ 0 für j0 < j und j + k < j0.
Es bleiben also ∂Bj,k,τ /∂τj und ∂Bj,k,τ /∂τj+k zu bestimmen. Nach der ersten Formel von
(2.32) gilt
(2.35)
∂Bj,k,τ
∂τj
= (−1) k−1
ν1 + 1, ν2, ..., νd − 1
θ1, θ2, ..., θd
=
= −
−1
τj+k−1 − τj
1
τ ′ j+k − τ ′ Bj,k,τ
j
′.
(x − y) k−1
+
(−1) k
ν1 + 1, ν2, ..., νd − 1
(τj+k−1 − τj)
θ1, θ2, ..., θd
Analog erhalten wir nach der zweiten Formel von (2.32)
(2.36)
∂Bj,k,τ
∂τj+k
= (−1) k
ν1 − 1, ..., νd−1, νd + 1
θ1, ..., θd−1, θd
=
=
1
(−1)
τj+k − τj+1
k (τj+k − τj+1)
1
τ ′ j+k+1 − τ ′ Bj+1,k,τ
j+1
′.
Berücksichtigen wir nun (2.34), so ergibt sich
∂s
∂τj0
=
j0
j=j0−k
(x − y) k−1
+
ν1 − 1, ..., νd−1, νd + 1
∂Bj,k,τ
× αj
∂τj0
θ1, ..., θd−1, θd
(x − y) k−1
+
(x − y) k−1
+