pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems 35
Das Problem LSI mit einer Vollrangmatrix A wird durch eine orthogonale Transformation
in das Problem LDP überführt. Das Problem LDP schließlich wird in das Problem NNLS
transformiert, welches mit einer aktiven Mengenstrategie gelöst wird (siehe [LH95, Chapter
23]). Die Prozeduren zur Lösung von LDP und NNLS entnehmen wir den gleichnamigen
FORTRAN-Programmen in [LH95]. Wir geben daher nur die Transformation von Problem
LSI in Problem LDP an.
Transformation von Problem LSI in Problem LDP
Sei AP = Q ˆ R eine QR-Faktorisierung der Vollrangmatrix A ∈ R m,n mit
Dann gilt
Q = (Q1, Q2) ∈ R m,m orthogonal, Q1 ∈ R m,n , Q2 ∈ R m,m−n
ˆR =
R
0
∈ R m,n , R ∈ R n,n
P ∈ R n,n Permutationsmatrix.
reguläre obere Dreiecksmatrix
1
2 Ax − b2 = 1
2
Q T AP P T x − Q T b 2 = 1
2
R
0
P T QT x − 1 b
QT 2 b
2
,
nach Einführung neuer Variablen y := PT x ∈ Rn , c1 := QT 1 b ∈ Rn , c2 := QT 2 b ∈ Rm−n
= 1
2 Ry − c1 2 + 1 2
c2
2
und nach erneuter Variablentransformation z := Ry − c1 ∈ R n schließlich
= 1
2 z2 + 1
2 c2 2 .
Durch Transformation der Nebenbedingungen erhalten wir CPR −1 z ≥ h − CPR −1 c1. Das
Problem LSI ist damit äquivalent zu dem Least Distance Problem
min z : CPR −1 z ≥ h − CPR −1 c1, z ∈ R n .
Die notwendige QR-Faktorisierung erfolgt durch Householder-Spiegelungen mit Spaltenpivotisierung.
Vor der Lösung der Gleichungssysteme mit der oberen Dreiecksmatrix R erfolgt
eine Schätzung der Konditionszahl. Wenn cond(R) > 1 / √ macheps gilt, brechen wir den
Algorithmus ab.
Ist die Matrix J in obigem Sinne (fast) rangdefizient, so ersetzen wir das Originalproblem
(2.39) durch das regularisierte Problem
2
1
min F J
2 + √ s
0 λI : Cs ≥ h − Ct ν , s ∈ R l
mit λ = √ l × macheps J T J 1 . Diese Strategie wird von Dennis/Schnabel [DS83, S. 151]
vorgeschlagen und in dem zugehörigen Programmpaket realisiert. Dort findet sich auch eine
theoretische Fundierung für die Wahl der Größe des Lagrange-Parameters λ.