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92 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
und wegen B + 1 P⊥ = 0 schließlich
B1
∂1f(t 1 , t 2 )[∆t 1
] = − tr PB2ZT P ⊥ B1 (∂1B1[∆t 1 ])B + T 1 P ⊥ B1ZPB2
.
Es gilt P⊥ T P⊥ B1 B1 = P⊥ B1 und daher
(4.19) ∂1f(t 1 , t 2 )[∆t 1
] = − tr PB2ZT (∂1B1)[∆t 1 ])B + T ⊥
1 PB1ZPB2
.
Betrachten wir abschließend die Fréchet-Ableitung des reduzierten Funktionals f bez.
t 2 . Wir verwenden die Darstellung
f(t 1 , t 2 ) = 1
2 F(t1 , t 2 ) 2
F
1
=
2 tr F(t 1 , t 2 )F(t 1 , t 2 T
)
mit F(t1 , t2 ) := PB1ZP⊥ . Aus Lemma 4.1 folgt
B2
∂2f(t 1 , t 2 )[∆t 2
] = tr F(t 1 , t 2 ) (∂2F(t 1 , t 2 )[∆t 2
T
]) .
Unter Benutzung von Lemma 2.6 erhalten wir
also
∂2F(t 1 , t 2 )[∆t 2 ] = PB1Z
∂2f(t 1 , t 2 )[∆t 2 ] =
− tr
PB1 ZP⊥ B2
= −PB1 Z
Es gilt P ⊥ B2 (B+ 2 )T = 0, d. h.
∂2P ⊥ B2 [∆t2 ]
P ⊥ B2 (∂2B2[∆t 2 ])B + 2 +
P ⊥ B2 (∂2B2[∆t 2 ])B +
T
2 ,
P ⊥ B2 (∂2B2[∆t 2 ])B + 2 +
P ⊥ B2 (∂2B2[∆t 2 ])B +
T
2 Z T P T
B1 .
(4.20) ∂2f(t 1 , t 2 )[∆t 2
] = − tr PB1ZP⊥B2 (∂2B2[∆t 2 ])B + 2 ZT
PB1 .
4.2.3 Beziehungen zwischen den Fréchet-Ableitungen
Lemma 4.2.
Es gelte die Bedingung: Die Matrixfunktionen B1 und B2 besitzen an der Stelle t 1 und t 2
lokal konstanten Rang. Sei
die zugehörige variable Projektion. Dann gilt
Aopt (t 1 , t 2 ) = B1 (t 1 ) +
Z B2 (t 2 ) +T ∂1f (t 1 , t 2 ) = ∂1f (t 1 , t 2 , Aopt (t 1 , t 2 )) und ∂2f (t 1 , t 2 ) = ∂2f (t 1 , t 2 , Aopt (t 1 , t 2 )) .