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2.1 Einleitung und historischer Überblick 9
eliminiert. Er verwendet einen Barriereterm der Form
n
P (τ ) :=
1
(inverse Barrierefunktion)
τj+1 − τj
j=k
zur Transformation in ein unrestringiertes Optimierungsproblem, d. h. es wird
ξ(τ ) := ϕ(τ ) + pP (τ ) = 1
m
[yi − s(xi)]
2
i=1
2
n 1
+p
τj+1 − τj
j=k
=:ϕ(τ )
=:P (τ )
betrachtet. Der Strafparameter p wird heuristisch gewählt
ϕ(τ
p = ɛ1
0 )
P (τ equi) ,
→ min
ɛ1 − relative Genauigkeit,
τ 0 − Startpunkt für die Knoten,
τ equi − äquidistante Knoten.
Zur Minimierung von ξ wird das Fletcher/Reeves CG-Verfahren verwendet. Man beachte,
daß obige Wahl des Strafparameters keine Konvergenz zu einer Lösung des restringierten
Problems im Sinne der Optimierungstheorie sichert. Außerdem wird die ursprüngliche Quadratmittelstruktur
nicht ausgenutzt. Im Rahmen der Untersuchung nichtlinearer Quadratmittelprobleme
mit speziell strukturierten Nebenbedingungen (Schranken an die Variablen
und Anordnungsnebenbedingungen) betrachten Holt/Fletcher [HF79] ebenfalls Splines mit
freien Knoten, allerdings ohne eine Separation von linearen und nichtlinearen Variablen
vorzunehmen.
Bei den obigen Verfahren zur direkten Minimierung des Quadratmittelfehlers ϕ werden
stets alle inneren Splineknoten in den Optimierungsprozeß einbezogen. Außerdem ist die
erwähnte Reduktion auf ein Problem, in welchem nur die nichtlinearen Parameter τ auftreten,
nur zulässig, falls die Schoenberg-Whitney-Bedingung erfüllt ist. In den Verfahren wird
explizit – manchmal auch stillschweigend – angenommen, daß diese Regularitätsbedingung
für alle während des Optimierungsprozesses auftretenden Splineknoten erfüllt ist. Suchomski
[Suc91] formuliert dagegen die Schoenberg-Whitney-Bedingung direkt als zusätzliche
Nebenbedingung an die Knoten. Er betrachtet allerdings eine Art simultaner Interpolation
und Approximation, d. h. von den m Daten {xi, yi} werden n ausgewählte Daten interpoliert.
Man beachte, daß diese Problemformulierung unsachgemäß ist, falls alle Datenwerte
{yi} fehlerbehaftet sind und keine durch einen kleineren stochastischen Fehler ausgezeichnet
sind. Mittels einer nichtlinearen Transformation ähnlich der von Jupp wird das Problem in
ein unrestringiertes Quadratmittelproblem überführt.
Wir werden in diesem Kapitel ein Verfahren entwickeln, welches
• keine Schoenberg-Whitney-Bedingung erfordert, sondern durch den Übergang von
zu
φ(s) := 1
2
ϕ(s) := 1
2
m
i=1
m
[yi − s(xi)] 2 → min
i=1
[yi − s(xi)] 2 + µ 1
2
b
a
[s (r) (x)] 2 dx → min
unabhängig von den Knoten stets die Zulässigkeit der Reduktionstechnik sichert.