pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

80 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Wie in Abbildung 3.6 beobachtet werden kann, wird die schnelle Änderung der Krümmung
um den Nullpunkt herum durch äquidistante Knoten nicht richtig wiedergegeben.
Dies erkennt man deutlich in Abbildung 3.7, in der die erste Ableitung des Splines s und
der zugrundeliegenden Funktion g gezeigt wird. Durch die Optimierung der Lage der Knoten
wird das Residuum um 80% reduziert. Obwohl die Residuen von Approximation und
Glättung für den Startpunkt fast identisch sind, kann man nach der Optimierung einen
wesentlichen Unterschied feststellen. Dies wird verursacht durch den größeren Einfluß des
Glättungsterms für nichtäquidistante Knoten.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Abbildung 3.6: Arctan-Daten: Spline s (—) und Funktion g (- - -), Startknotenfolge
3.6.3 Volumetric moisture content data
Als letztes Beispiel haben wir einen Datensatz benutzt, welcher im Testprogramm des FIT-
PACK-Paketes Verwendung findet, siehe [Die87, S. 79ff] und [Die93, S. 129f]. Geben wir die
Schranke S = F 2 = 0.0002 für den Quadratmittelfehler vor, so berechnet CONCON eine
konkave Approximation mit n = 7 kubischen Splines mit dem Residuum F = 0.012097
zu den m = 16 Datenpunkten. Unser Algorithmus RCAP-Ka-ED wurde mit äquidistanten
Knoten gestartet und liefert F = 0.010675, siehe Tabelle 3.5. Die Qualität beider
Approximationen ist vergleichbar, wie Abbildung 3.9 zeigt.
Die numerischen Tests zeigen, daß unsere Methode ein leistungsfähiger Algorithmus zur
Berechnung von formerhaltenden Splines mit freien Knoten ist. Der Algorithmus liefert auch
im Vergleich mit der vielbenutzten CONCON-Routine aus dem FITPACK-Paket sehr gute
Ergebnisse, erweitert jedoch dessen Funktionalität, d. h. allgemeinere Nebenbedingungen als
Konvexität-Konkavität, beliebige Splineordnung und Einbeziehung eines Glättungsterms.
Im Gegensatz zu CONCON minimiert unser Algorithmus direkt das Schoenberg-Funktional.
Da die Schwachbesetztheitsstruktur der Matrizen soweit als möglich ausgenutzt wird, ist der
Algorithmus auch für größere Datenmengen effektiv.