Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

Annexe A
Définition d’une fonction holomorphe
A.1 Dérivée d’une fonction f (z).
Soit f une fonction de la variable complexe z définissant une opération (ou une suite d’opération)
qui, au nombre z dans un certain ensemble D inclus dans le plan, associe un certain nombre
complexe noté f (z) :
∀z ∋ D −→ f (z) ∋ C
D est appelé l’ensemble de définition de la fonction f : c’est l’ensemble des points où l’on sait
effectuer les opérations permettant de calculer f (z).
La donnée d’une fonction f (z) est équivalente à la donnée de deux fonctions à valeurs réelles u(x, y)
et v(x, y) telles que :
∀z ∋ D, f (z) = u(x, y) + ıv(x, y)
Supposons f (x, y)
in R 2 − différentiable, c’est-à-dire possédant une différentielle dans un certain domaine de R 2 :
Par ailleurs :
d’où l’on déduit :
d f = ∂f ∂f
d x + d y. (A.1)
∂x ∂y
z = x + ı y et d z = dx − ıdy
d x = 1
1
(d z + d z), d x =
2 2ı
1
(d z − d z) = (ıd z − ıd z)
2
En reportant ces expressions dans (A.1) et en factorisant selon d z et d z, il devient :
d f = 1
∂f ∂f
− ı d z +
2 ∂x ∂y
1
∂f ∂f
+ ı d z (A.2)
2 ∂x ∂y
Cette expression justifie que l’on introduise deux opérateurs différentiels définis comme suit :
∂ ≡ ∂
1 ∂ ∂
= − ı , ∂ ≡
∂z 2 d x ∂d y
∂
1 ∂ ∂
= + ı
∂z 2 d x ∂d y
134
(A.3)