Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

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3.3. Fissure dans un milieu isotrope viscoélastique Pour un maillage plus fin avec 1468 éléments (plus 3 fois plus dense), on peut obtenir un meilleur résultat dont l’erreur entre ces deux solutions se réduit à 0.3%. Les figures 3.5 et 3.6 montrent encore une fois de bons résultats numériques par rapport au calcul analytique. 66
3.4. Expression du taux de restitution d’énergie en milieu viscoélastique 3.4 Expression du taux de restitution d’énergie en milieu viscoélastique Le taux de restitution d’énergie d’un matériau viscoélastique est souvent plus important que celui d’un matériau élastique en raison de son facteur d’intensité de contrainte. Ce facteur est largement utilisé dans la mécanique linéaire de la rupture mais il ne peut guère être qualifié comme un paramètre pour la détermination de l’initiation de fissure viscoélastique sauf dans le cas où ses valeurs critiques soient toujours tenues constantes. Dans cette partie, nous allons examiner l’expression globale et locale du taux de restitution d’énergie dans un milieu viscoélastique fissuré. On aborde dans un premier temps les équations constitutives de la viscoélasticité linéaire à l’issue de la première loi thermomécanique. On étudie ensuite le concept du taux de restitution d’énergie d’une fissure viscoélastique en négligeant l’énergie cinétique. 3.4.1 Les équations fondamentales d’un matériau viscoélastique Lorsque l’on considère un corps viscoélastique non-fissuré Ω délimité par la surface fermée Σ, l’équilibre énergétique a la forme suivante : ρ ˙e = ρ˙ɛ − ˙qk,k + ρ ˙r (3.67) avec : – ˙e et ˙ɛ correspondent aux taux d’énergie interne et d’énergie de déformation par unité de masse respectivement ; – ˙qk,k sont les composants du vecteur de flux chaleur par unité de temps ; – r est la fonction de chaleur par unité de masse ; – ρ est la densité volumique actuelle. Le taux local de la production d’entropie s’exprime à l’aide de l’inégalité Clausius - Duhem : ρT ˙σ ∗ = ρ(˙ɛ + ˙sT − ˙e) − ˙qk T T,k ≥ 0 (3.68) avec : – σ˙ ∗ est le taux de production d’entropie ; – T et T,k correspondent respectivement à la température actuelle et à son gradient. À partir de l’équation (3.67), on obtient : avec : – l’énergie cinétique K = 1 2 Ω ρ ˙uk ˙ukdV ; – l’énergie interne U = Ω ρedV ; – le taux de travail effectué ˙W = Λ e + ρT ˙s + ˙qk,k − ρ ˙r = 0 (3.69) ˙K + ˙U = ˙Ω(Λ e + ρT ˙s)dV (3.70) Σ Tk ˙ukdS. On rappelle à nouveau que les équations (3.69) et (3.70) sont valables lorsqu’il n’y a pas de singularité et que la région Ω est fermée. Lorsque la région Ω s’étend, on prend en compte de l’énergie thermique ˙Q appliquée au corps dans l’équation d’équilibre : ˙K + ˙U = ˙W + ˙Q − ˙Π (3.71) 67
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