Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

3.2. Expression analytique du facteur d’intensité de contrainte
◦ La première traduit les chargements de traction imposés (σy )+ = (σy )− = σ 0 y (x) et (τx y )+ =
−τx y )− = τ0 x y (x) sur les surfaces fissurées ;
◦ La deuxième traduit alternativement les chargements de traction imposés (τx y )+ = −τx y )− =
τ0 x y (x) et de déplacements contrôlés v+ = −v− = v0(x) ;
◦ La troisième possibilité est les déplacements imposés sur les surfaces fissurées v+ = −v− =
v0(x) et u+ = u− = u0(x).
Mathématiquement, ces trois configurations de chargement peuvent être interprétées différemment
: La condition τx y = ±τ0 x y implique que τx y est connue tout au long de la frontière y = 0 de
chaque mi-plan, de même interprétation pour le cas où v± = ±v0(x). On s’intéresse particulièrement
au cas où (σy )+ = (σy )− = σ0 y (x) et τ0x y (x) = 0, c’est-à-dire :
(σy − σx + 2ıτx y )− = (σy − σx + 2ıτx y )+ pour y = 0 (3.26)
L’identification des équations (3.19) et (3.26) donne :
s ′ − (x) = s′ + (x) pour y = 0
Pour les milieux infinis, la théorie de Liouville montre que s ′ (x) est un polynôme à un degré fini satisfaisant
la relation (3.19), et se réduit à une constante due à la contrainte imposée finie. Une unique
fonction potentielle complexe est donc nécessaire. La simplification qui consiste à imposer s ′ (x) nul
équivaut à une superposition d’une contrainte constante σx. Cette contrainte n’influence pas le facteur
d’intensité de contraintes (FIC) d’une structure fissurée symétrique.
L’équation (3.18) montre que pour y = 0 :
(σy )+ = 2ℜp ′ + (x) = p′ (x + ı0) + p ′ (x + ı0) = p ′ + (x + ı0) + p′ − (x − ı0)
= p ′ + (x) + p′ − (x) = σ0y (x) pour b < x < c (3.27)
Pour x < b et x > c, l’équation (3.20) devient :
2µı ∂v+
∂x
Comme s ′ (x) est analytique sur y = 0, donc :
1
=
1 − k2 ′
p + (x) − p ′ − (x) − k2
1 − k2 ′
s + (x) − s ′ − (x) = 0 (3.28)
p ′ + (x) − p′ − (x) = 0 pour x < b, x > c (3.29)
Soit L une portion de l’abscisse x contenant l’ensemble des fissures colinéaires :
Milieu infini
p ′ + (x) + p′ − (x) = σ0y (x) pour x ∈ L
p ′ + (x) − p′ − (x) = 0 pour x ∉ L
(3.30)
Dans cette section, on considère un milieu infini en présence d’une fissure (b < x < c) qui est
soumis aux contraintes imposées à l’infini (σ∞ x et σ∞y ) en supposant que la contrainte de cisaillement
des surfaces fissurées est nulle. Les équations (3.27) et (3.29) constituent un problème de Hilbert dont
la solution est la suivante :
avec :
p ′ 1
(z) =
2πıG(z)
c σ0 y (ξ)G+ (ξ)
b
ξ − z
dξ + P(z)
. (3.31)
G(z)
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