Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

3.3 Fissure dans un milieu isotrope viscoélastique
3.3.1 Modèle viscoélastique
3.3. Fissure dans un milieu isotrope viscoélastique
La loi de Hooke décrivant le comportement d’un matériau élastique linéaire s’écrit :
σi j = µ
u j,i + ui ,j + κ − 2µ
uk,kδj i
3
avec :
– µ : module de cisaillement ;
– κ : module de compression.
(3.55)
Le comportement mécanique du matériau viscoélastique linéaire s’obtient après un temps différentiel
en remplaçant µ et κ par des fonctions de temps correspondants dans la loi de comportement
élastique. Ces dernières sont dues à la mémoire imparfaite du matériau viscoélastique. On sait
que l’état de contrainte viscoélastique à un instant t dépendra de l’histoire des déformations. Réciproquement,
l’état de déformation viscoélastique à un instant t donné dépendra de l’histoire des
contraintes.
La viscoélasticité linéaire suppose que si l’on prend deux histoires de déformations, la contrainte
correspondant à la somme des histoires de déformation sera la somme des contraintes correspondant
à chacune de ces déformations.
∞
σi j = µ(t − s)[ ˙u j,i (s) + ˙ui ,j (s)] + κ(t − s) − 2
µ(t − s) ˙uk,k(s)δj i d s (3.56)
3
−∞
Les fonctions µ(t) et κ(t) sont supposées nulles lorsque t < 0. Nous considérons par la suite le
modèle viscoélastique linéaire de Zener :
avec :
H(t) : fonction Heaviside ;
µ0,µ∞,κ0 : des constants du matériau ;
t0 : le temps de relaxation.
µ(t) = µ∞ + (µ0 − µ∞)e −t/t0
H(t)
κ(t) = κ∞ + (κ0 − κ∞)e −t/t0
H(t).
(3.57)
Le chargement est supposé appliqué instantanément en évitant un temps de chargement si faible
qu’il risque de provoquer les ondes dans le solide. Avec tel chargement, les effets d’inertie peuvent être
négligés et le principe de correspondance s’applique effectivement pour les fissures fixes.
3.3.2 Le principe de correspondance élastique-viscoélastique
Supposons Si j ,Ui et K(p) sont les transformations de Laplace de σi j ,ui et de κ(t) respectivement.
Les transformations de Laplace de l’équation constitutive (3.56) de Hooke a la forme suivante :
Si j = M(p)
Uj,i + Ui ,j + K(p) − 2
3 M(p)
Uk,kδi j
(3.58)
Comme le matériau considéré est caractérisé par le modèle de Zener, les deux fonctions µ(t) et
κ(t) ainsi que leurs transformations de Laplace sont proportionnelles l’une à l’autre. Cela implique
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