Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel
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3.4. Expression du taux <strong>de</strong> restitution d’énergie en <strong>milieu</strong> viscoé<strong>la</strong>stique<br />
3.4 Expression du taux <strong>de</strong> restitution d’énergie en <strong>milieu</strong> viscoé<strong>la</strong>stique<br />
Le taux <strong>de</strong> restitution d’énergie d’un matériau viscoé<strong>la</strong>stique est souvent plus important que celui<br />
d’un matériau é<strong>la</strong>stique en raison <strong>de</strong> son facteur d’intensité <strong>de</strong> contrainte. Ce facteur est <strong>la</strong>rgement<br />
utilisé dans <strong>la</strong> mécanique linéaire <strong>de</strong> <strong>la</strong> rupture mais il ne peut guère être qualifié comme un paramètre<br />
pour <strong>la</strong> détermination <strong>de</strong> l’initiation <strong>de</strong> fissure viscoé<strong>la</strong>stique sauf dans le cas où ses valeurs<br />
critiques soient toujours tenues constantes.<br />
Dans cette partie, nous allons examiner l’expression globale et locale du taux <strong>de</strong> restitution d’énergie<br />
dans un <strong>milieu</strong> viscoé<strong>la</strong>stique fissuré. On abor<strong>de</strong> dans un premier temps les équations constitutives<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> viscoé<strong>la</strong>sticité linéaire à l’issue <strong>de</strong> <strong>la</strong> première loi thermomécanique. On étudie ensuite le<br />
concept du taux <strong>de</strong> restitution d’énergie d’une fissure viscoé<strong>la</strong>stique en négligeant l’énergie cinétique.<br />
3.4.1 Les équations fondamentales d’un matériau viscoé<strong>la</strong>stique<br />
Lorsque l’on considère un corps viscoé<strong>la</strong>stique non-fissuré Ω délimité par <strong>la</strong> surface fermée Σ,<br />
l’équilibre énergétique a <strong>la</strong> forme suivante :<br />
ρ ˙e = ρ˙ɛ − ˙qk,k + ρ ˙r (3.67)<br />
avec :<br />
– ˙e et ˙ɛ correspon<strong>de</strong>nt aux taux d’énergie interne et d’énergie <strong>de</strong> déformation par unité <strong>de</strong> masse<br />
respectivement ;<br />
– ˙qk,k sont les composants du vecteur <strong>de</strong> flux chaleur par unité <strong>de</strong> temps ;<br />
– r est <strong>la</strong> fonction <strong>de</strong> chaleur par unité <strong>de</strong> masse ;<br />
– ρ est <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité volumique actuelle.<br />
Le taux local <strong>de</strong> <strong>la</strong> production d’entropie s’exprime à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’inégalité C<strong>la</strong>usius - Duhem :<br />
ρT ˙σ ∗ = ρ(˙ɛ + ˙sT − ˙e) − ˙qk<br />
T T,k ≥ 0 (3.68)<br />
avec :<br />
– σ˙ ∗ est le taux <strong>de</strong> production d’entropie ;<br />
– T et T,k correspon<strong>de</strong>nt respectivement à <strong>la</strong> température actuelle et à son gradient.<br />
À partir <strong>de</strong> l’équation (3.67), on obtient :<br />
avec :<br />
– l’énergie cinétique K = 1<br />
<br />
2 Ω ρ ˙uk ˙ukdV ;<br />
– l’énergie interne U = <br />
Ω ρedV ;<br />
– le taux <strong>de</strong> travail effectué ˙W = <br />
Λ e + ρT ˙s + ˙qk,k − ρ ˙r = 0 (3.69)<br />
˙K + ˙U = ˙Ω(Λ e + ρT ˙s)dV (3.70)<br />
Σ Tk ˙ukdS.<br />
On rappelle à nouveau que les équations (3.69) et (3.70) sont va<strong>la</strong>bles lorsqu’il n’y a pas <strong>de</strong> singu<strong>la</strong>rité<br />
et que <strong>la</strong> région Ω est fermée. Lorsque <strong>la</strong> région Ω s’étend, on prend en compte <strong>de</strong> l’énergie<br />
thermique ˙Q appliquée au corps dans l’équation d’équilibre :<br />
˙K + ˙U = ˙W + ˙Q − ˙Π (3.71)<br />
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