Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

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3.4. Expression du taux de restitution d’énergie en milieu viscoélastique 3.4.2 Le forme globale du taux de restitution d’énergie Dans cette partie, on va examiner un problème plan d’un corps fissuré (figure 3.7), d’où l’énergie ˙Π libérée par la fissure par unité de temps peut s’exprimer par R ˙Σ. R est l’énergie engendrée par unité de temps et par unité de surface tandis que ˙Σ est le taux d’incrément de surface fissurée ou du corps si l’on prend en compte de la variation de surface fissurée seulement. X₃ S FIG. 3.7 – Un corps de solide fissuré, avec S la surface fissurée, L le bord de la fissure, Tk les forces externes, uk condition de déplacement, : la surface frontière, Ω le volume borné par la surface fermée À partir de l’équation (3.71), on en déduit : −R ˙Σ = d ρedV − d t Ω Tk Σ d’où on néglige l’énergie cinétique. Si on remplace : L’équation (3.72) devient alors : − R ˙Σ = + ˙Σ d d t Tk X₂ L W uk X₁ S duk dρr d qk,k dS − − dV (3.72) d t Ω d t d t = ∂ ∂ + ˙Σ d dΣ ∂ ∂uk ∂ρr ∂t Ω ρedV − Σ Tk ∂t dS − Ω ∂t d duk dΣ Ω ρedV − Σ Tk dΣ dS − Ω − ∂qk,k d t dV dρr d qk,k dΣ − dΣ dV (3.73) (3.74) Selon l’équation d’équilibre (3.70), le premier terme entre les crochets est nul car il n’y a pas d’énergie engendrée par la fissure. On a d’ailleurs : ∂ρr ρt L’équation (3.74) devient alors : ˙Σ −R − d ρedV + dΣ Ω ∂qk,k − ∂t = Λe + ρT ∂s ∂t Tk Σ (3.75) duk dρr d qk,k d s + − dV = 0 (3.76) dΣ Ω dΣ dΣ On peut simplifier l’équation (3.76) en introduisant le bilan local énergétique à un temps spécifique et un point matériel du corps étudié : DρR d qk,k d d − dV = ρr − qk,k dV = ρe − ρε dV (3.77) Ω dΣ dΣ dΣ Ω dΩ Ω 68
avec ρε = σi j dei j . 3.4. Expression du taux de restitution d’énergie en milieu viscoélastique En introduisant l’égalité (3.77) dans l’expression (3.76), on obtient : dσi j −R = ei j dV − Tk Ω dΣ Σ duk dS (3.78) dΣ Si l’énergie interne U est substituée par l’énergie libre Helmholz, on peut obtenir la même équation 3.78. Cependant, si on peut considérer l’enthalpie ou l’énergie Gibbs à la place de l’énergie interne U, nous obtenons une nouvelle relation : dσi j −R = ei j dV + uk Ω dΣ Σ 3.4.3 La forme locale du taux de restitution d’énergie dTk dS (3.79) dΣ À partir des équations (3.79) et (3.78), il est prouvé que les termes de droite peuvent s’exprimer sous forme d’une intégrale avec les conditions suivantes : – on néglige l’énergie cinétique ; – on considère le volume Ω borné par Σ comme une surface arbitraire contenant la pointe de fissure. On considère deux corps viscoélastiques, le premier a une surface de fissure Σ et le deuxième a une surface (de fissure Σ + ∆Σ). On peut supposer que les deux corps ont une même surface (Σ + ∆Σ) à condition que la fissurée du premier soit collée dans la zone ∆Σ et qu’elle soit soumise à une contrainte σ2k. Le déplacement uk(Σ + ∆Σ) du second corps est un champ cinématiquement admissible pour le premier. Le principe de travail virtuel permet donc d’écrire : Σ Tk(Σ)uk(Σ + ∆Σ)dS − ∆Σ σ2k∆uk(∆ + ∆Σ)dS = σi j (Σ)ei j (Σ + ∆Σ)dV (3.80) Ω De même, uk(Σ) du premier est un champ cinématiquement admissible pour le second corps. On a alors : Tk(Σ + ∆Σ)uk(Σ)dS = Σ σi j (Σ + ∆Σ)ei j (Σ)dV Ω (3.81) En soustrayant l’équation (3.80) par l’équation (3.81) et après la combinaison des relations (3.78) et (3.79), on obtient : 1 R = lim ∆Σ→0 2∆Σ σ2k∆uk(Σ + ∆Σ)dS (3.82) On remarque que : lim ∆Σ→0 lim ∆Σ→0 lim ∆Σ→0 lim ∆Σ→0 Tk(Σ) Σ uk(Σ + ∆Σ) − uk(Σ) dS ∆Σ = σi j (Σ) Ω ei j (Σ + ∆Σ) − ei j (Σ) dV ∆Σ uk(Σ) Ω = Tk(Σ + ∆Σ) − Tk(Σ) dV ∆Σ = ei j (Σ) σi j (Σ + ∆Σ) − σi j (Σ) dV ∆Σ = Ω Σ Tk Σ σi j Ω uk Ω ei j Ω duk dS (3.83) dΣ dei j dΣ dV dTk dΣ dV dσi j dΣ dV 69
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