Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

4.4 Identification des séries de Prony
4.4. Identification des séries de Prony
Les propriétés mécaniques des matériaux viscoélastiques linéaires sont souvent déterminées à
partir des essais sur des éprouvettes soumises à l’excitation transitoire ou sinusoïdale en régime permanent.
De nombreuses expressions analytiques de comportement viscoélastique linéaire sont proposées
avec les travaux de Ferry [63] et de Tschoegl [177, 174, 175, 176]. Ces dernières représentations se
basent sur la décomposition exponentielle souvent connue sous forme des séries de « Prony »ou de
« Dirichlet ». Les séries de Prony dont le modèle rhéologique est composé des éléments de Maxwell
en parallèle sont largement utilisées.
4.4.1 Définition des séries de Prony
Dans le cas des matériaux non vieillissants, l’expression générale du comportement viscoélastique
linéaire isotherme s’écrit (Ehrlacher [58]) :
t
σt = R(t − u)˙ε(u)du (4.12)
−∞
avec R(t) et ˙ε(t) sont respectivement la fonction de relaxation et la vitesse de déformation.
E ∝
E 1
η 1
E 2
η 2
FIG. 4.8 – Modèle viscoélastique Maxwell généralisé
Dans le cas d’un modèle Maxwell généralisé que l’on a vu au chapitre §1.4.4, la fonction de relaxation
R(t) peut s’écrire :
R(t) = E∞ + Ei e −t/τi (4.13)
avec τi le temps de relaxation élémentaire τi = ηi /Ei . On en déduit alors :
E m
η m
E n
E0 = R(t = 0) = E∞ + Ei
On définit ensuite les termes adimensionnels des séries de Prony :
η n
gi = Ei
; g∞ =
E0
E∞
= 1 −
E0
gi
(4.14)
(4.15)
Les séries de Prony en fonction de ces termes adimensionnels s’expriment comme suit (Abaqus
[84]) :
gR(t) = 1 − gi (1 − e −t/τi ) (4.16)
On remarque que les séries de Prony a un rapport direct avec les module de rigidité du modèle de
Maxwell. Dans la partie suivante, on va examiner la méthode pour déterminer ces modules élémentaires
afin d’identifier les séries de Prony.
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