Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

4.4.2 Calage des séries de Prony
4.4. Identification des séries de Prony
Dans cette section, on va examiner l’identification des séries de Prony par deux optimisations
(Hammoum [74]). La première optimisation se base sur la méthode linéaire des moindres carrés (Coleman
[37]). Les résultats de cette première optimisation se sert le départ pour la deuxième optimisation
non-linéaire qui s’ajuste simultanément sur les valeurs de E0, Ei et τi .
Selon l’équation (1.4), le module complexe est défini par sa norme et son angle de phase :
E = |E ∗ |(cos(δ) + ı sin(δ)) (4.17)
On en déduite ensuite la partie réelle et imaginaire de ce module qui seront utilisées plus loin dans la
première optimisation des séries Prony (l’équation [4.23]).
E ′ (w) = |E ∗ |cos(δ) E ′′ (w) = |E ∗ |sin(δ) (4.18)
On retrouve ainsi E ′ (w), E " (w) qui sont respectivement le module élastique et le module de perte :
E ′ (w) = E∞ +
N
Ei
i=1
(τi w) 2
1 + (τi w) 2
E ′′ (w) =
N
Ei
i=1
τi w
1 + (τi w) 2
avec w étant la fréquence angulaire et N étant le nombre d’éléments des séries de Prony.
Première optimisation linéaire
(4.19)
Pour la première optimisation, on adopte d’abord le nombre d’éléments de séries Prony permettant
de définir l’intervalle de temps de relaxation τi correspondante. On définit puis les matrices
constituant les deux systèmes linéaires suivants :
Nous posons ensuite :
B ′
B ′′
[I]m
[B]2m,n+1 =
m,n = (wm τn) 2
1+(wm τn) 2
m,n = (wm τn)
1+(wm τn) 2
[I]m
′ B
′′ B
On obtient finalement le système linéaire suivant :
[B]2m,n+1 [E]n+1 =
m,n
m,n
⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
⎢1⎥
[I]m = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
1
⎡
E∞
En
⎤
⎢ ⎥
⎢ E1 ⎥
[E]m = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
′ E (w)
′′ E (w)
m
m
(4.20)
(4.21)
(4.22)
Dans notre cas, le nombre des équations indépendante 2m est considéré plus important que le nombre
d’inconnus n +1. Il n’existe pas de solution satisfaisant toutes ces équations. Cependant, le problème
peut être résolu grâce à la méthode des moindres carrés. Il s’agit de minimiser la norme du vecteur
d’erreur :
′
E (w)
e = [B]2m,n+1 [E]n+1 − m
′′ (4.23)
E (w)
m
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