Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

2.5. Approche globale ou énergétique
Si au contraire, les sollicitations extérieures sont telles que à tout moment on a l’égalité :
G = 2γ (2.19)
alors il n’y a pas d’accroissement d’énergie cinétique. On dit que la rupture est contrôlée. Dans ce
cas, c’est une croissance stable de la fissure.
Expression de G en cas quasi-statique
Considérons un corps Ω soumit à une traction T d sur la frontière ∂ΩT et à un déplacement u d
sur une frontière ∂Ωu. On s’intéresse aux relations d’énergie élastique stockée et de travail des efforts
extérieurs lors d’une augmentation de la fissure dS. L’énergie élastique est égale à :
Wel ast = 1
Ti .ui dS =
2
1
2
∂Ω
∂ΩT
T d
i .ui dS + 1
2
∂Ωu
Ti .u d
i dS (2.20)
L’énergie potentielle des efforts extérieurs s’exprime comme suit :
Wext = T d
i .ui dS (2.21)
L’énergie potentielle totale P :
∂ΩT d
i
P = Wel ast − Wext = 1
2
∂Ωu
Ti .u d 1
i dS −
2
∂ΩT
T d
i .ui dS (2.22)
Puisque les chargements surfaciques sont indépendants du processus de fissuration, on déduit
alors le taux de restitution d’énergie G :
soit encore :
2.5.2 Intégrale de contour
G ≡ − ∂P
∂A
⎛
1 ⎜
= ⎝
2
∂ΩT
G = 1
2
∂Ω
T d
∂ui
i dS −
∂A
∂Ωu
Ti
∂Ti
∂A ud
i dS
⎞
⎟
⎠ (2.23)
∂ui ∂Ti
−
∂A ∂A ui
dS (2.24)
La singularité du champ des contraintes au voisinage de la pointe d’une fissure peut également
être étudiée avec des intégrales de contour déduite de la loi de conservation de l’énergie (Eshelby
[61]). Ces intégrales ont la particularité d’être équivalentes aux taux de restitution d’énergie, et d’être
indépendantes du contour d’intégration choisi. Parmi les plus connues, on peut citer l’intégration
J de Rice [147], l’intégrale duale I de Bui [19], l’intégrale hybride s’appuyant sur le superélément de
Tong et Pian [186] ou encore les intégrales T et A proposées par Bui et Proix [21] et mises en oeuvre et
étudiées par Zhang [186].
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