Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel
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3.4. Expression du taux <strong>de</strong> restitution d’énergie en <strong>milieu</strong> viscoé<strong>la</strong>stique<br />
3.4.2 Le forme globale du taux <strong>de</strong> restitution d’énergie<br />
Dans cette partie, on va examiner un problème p<strong>la</strong>n d’un corps fissuré (figure 3.7), d’où l’énergie<br />
˙Π libérée par <strong>la</strong> fissure par unité <strong>de</strong> temps peut s’exprimer par R ˙Σ. R est l’énergie engendrée par unité<br />
<strong>de</strong> temps et par unité <strong>de</strong> surface tandis que ˙Σ est le taux d’incrément <strong>de</strong> surface fissurée ou du corps<br />
si l’on prend en compte <strong>de</strong> <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> surface fissurée seulement.<br />
X₃<br />
S<br />
FIG. 3.7 – Un corps <strong>de</strong> soli<strong>de</strong> fissuré, avec S <strong>la</strong> surface fissurée, L le bord <strong>de</strong> <strong>la</strong> fissure, Tk les forces<br />
externes, uk condition <strong>de</strong> dép<strong>la</strong>cement, : <strong>la</strong> surface frontière, Ω le volume borné par <strong>la</strong> surface<br />
fermée <br />
À partir <strong>de</strong> l’équation (3.71), on en déduit :<br />
−R ˙Σ = d<br />
<br />
ρedV −<br />
d t<br />
Ω<br />
Tk<br />
Σ<br />
d’où on néglige l’énergie cinétique. Si on remp<strong>la</strong>ce :<br />
L’équation (3.72) <strong>de</strong>vient alors :<br />
− R ˙Σ =<br />
+ ˙Σ<br />
d<br />
d t<br />
Tk<br />
X₂<br />
L<br />
W<br />
uk<br />
X₁<br />
S<br />
<br />
duk dρr d qk,k<br />
dS − − dV (3.72)<br />
d t Ω d t d t<br />
= ∂<br />
∂ + ˙Σ d<br />
dΣ<br />
<br />
<br />
∂<br />
∂uk<br />
∂ρr<br />
∂t Ω ρedV − Σ<br />
Tk ∂t dS − Ω ∂t<br />
<br />
<br />
d<br />
duk<br />
dΣ Ω ρedV − Σ<br />
Tk dΣ dS − Ω<br />
− ∂qk,k<br />
d t<br />
<br />
dV<br />
<br />
dρr d qk,k<br />
dΣ − dΣ dV<br />
<br />
(3.73)<br />
(3.74)<br />
Selon l’équation d’équilibre (3.70), le premier terme entre les crochets est nul car il n’y a pas<br />
d’énergie engendrée par <strong>la</strong> fissure. On a d’ailleurs :<br />
∂ρr<br />
ρt<br />
L’équation (3.74) <strong>de</strong>vient alors :<br />
<br />
˙Σ −R − d<br />
<br />
ρedV +<br />
dΣ<br />
Ω<br />
∂qk,k<br />
−<br />
∂t = Λe + ρT ∂s<br />
∂t<br />
Tk<br />
Σ<br />
(3.75)<br />
<br />
duk dρr d qk,k<br />
d s + − dV = 0 (3.76)<br />
dΣ Ω dΣ dΣ<br />
On peut simplifier l’équation (3.76) en introduisant le bi<strong>la</strong>n local énergétique à un temps spécifique<br />
et un point matériel du corps étudié :<br />
<br />
<br />
DρR d qk,k<br />
d d <br />
− dV = ρr − qk,k dV = ρe − ρε dV (3.77)<br />
Ω dΣ dΣ<br />
dΣ<br />
Ω dΩ<br />
Ω<br />
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