Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

2.4. Approche locale
par Rybicki et Kanninen [154]. Cette méthode permet de calculer davantage le taux de restitution
d’énergie car elle ne demande pas d’éléments spéciaux et elle est insensible au maillage.
Sa limitation majeure se trouvait toutefois dans son domaine d’application de la mécanique
linéaire de la rupture (Leski [104]). En 1959, Banrenblatt [7, 8] applique ce modèle pour calculer
parfaitement le matériau fragile. Parmi les travaux récents, on peut citer les publications de
Needleman et Xu [126, 185] sur la simulation numérique de la rupture fragile. Malgré de nombreux
travaux intéressants, cette méthode n’est pas encore introduite dans les codes de calcul
connus (Ansys, Aska, Permas ou Semcef) sauf Franc2D, Abaqus [87] en 2007 et Msc Nastran [1]
récemment.
Il existe également les travaux de Birinci ([12, 13]) pour déterminer le facteur d’intensité de contrainte
d’une fissure axisymétrique en mode I.
Méthode statique : il s’agit de déterminer le facteur d’intensité de contrainte à partir du champ de
contrainte σ en pointe de fissure et dans son prolongement. Cette contrainte s’exprime en fonction
du déplacement déterminé aux points d’intégrations des éléments et non aux noeuds.
K a
I
= lim 2(a − r ).σ22(r,θ = 0) (2.7)
r →a
σ22(x1,θ = 0) = K σ
I
Lors que l’on s’approche de la pointe de la fissure, les champs mécaniques sont mal calculés
par la méthode des éléments finis. Afin d’améliorer la précision du calcul de facteur d’intensité
de contrainte, on doit raffiner le cette zone.
D’ailleurs, en mode I de rupture, la fonction d’Airy de contrainte s’exprime :
Φ = A−1r 3
2 cos ϕ
+
1,3,5
+
0,2,4
Anr n
+2 2 cos nϕ n
−
2
1
2πx1
1 3ϕ
+ cos
3 3 2
n + 4 cos
nϕ
+ 2ϕ
2
nϕ
+ 2ϕ
2
Anr n
+2 2 cos nϕ
− cos
2
La dérivée d’ordre 2 de cette équation de Φ permet d’avoir la solution en contrainte σϕ. Le
premier terme de l’expression de Φ caractérise la singularité à proximité de la pointe de fissure.
Pour le cas où ϕ = 0, on l’obtient alors :
(2.8)
(2.9)
σϕ = A−1 3
r + A1 r + ○(r 2 ) = KI 3
+ A1 r + ○(r 2 ) (2.10)
2πr
Selon (Chailleux [26]), on peut réécrire l’équation (2.10) comme suit :
σϕ 2πr = KI + B1r + B2r 2
Des coefficients B1 et B2 sont déterminés par la méthode des moindres carrées.
(2.11)
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