Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

2.5. Approche globale ou énergétique
A étant la surface comprise entre les contours Γ0 et Γ1, et ∆x1 représentant l’extension virtuelle.
Les applications numériques de Zhang [186], Lin [106] ont montré la grande précision de cette
méthode. De plus, les résultats obtenus sont entièrement indépendants des contours choisis lorsque
la méthode d’intégration directe est utilisée pour calculer la perturbation de la matrice de raideur.
Méthode Gθ
En remplaçant ∆x1 par une fonction vectorielle θ de composantes nulles à l’intérieur du contour
Γ0, de norme unité à l’extérieur du contour Γ1, et de composantes variant continûment entre ces valeurs
sur la couronne comprise entre Γ0, Γ1 et les lèvres de la fissure, on retrouve le principe de la
méthode Gθ.
Cette méthode introduite par Destuynder et Djaoua au début des années 1980 (Destuynder [46]
[47], Gilles [68]) consiste à calculer le taux de restitution d’énergie G par dérivation (par la méthode
Lagrangienne) de l’énergie potentielle d’une structure fissurée par rapport à un domaine. Elle revient
à effectuer une intégration non pas sur un contour, mais sur une couronne Ccour entourant la pointe
de fissure. Cette couronne dont les frontières coïncident avec les côtés des éléments doit être prise
assez loin du fond de fissure pour bénéficier d’une bonne approximation de la solution. De plus, l’intégration
numérique est effectuée aux points de Gauss des éléments appartenant à la couronne, ce
qui lui donne plus de précision.
L’énergie potentielle totale du système est définie par :
Wp = 1
Tr (σ∇u)dΩ − f .udΩ (2.35)
2 Ω
Ω
où f représente les forces extérieures appliquées sur le domaine Ω.
Le principe des travaux virtuels, à l’équilibre, nous donne la relation suivante pour tout champ de
déplacements virtuels cinématiquement admissible u∗ :
Tr (σ∇u
Ω
∗
)dΩ − f .u
Ω
∗ dΩ (2.36)
En prenant u comme champ de déplacement virtuel, on obtient l’expression de l’énergie potentielle
totale à l’équilibre :
Wp = 1
Tr (σ∇u)dΩ (2.37)
2 Ω
La perturbation étant infinitésimale, les opérations de dérivation et d’intégration sur le corps perturbé
peuvent s’exprimer à l’aide d’un développement limité au premier ordre en fonction des mêmes
opérations sur le corps non perturbé. Destuynder [47, 46] montre alors que sous les hypothèses suivantes
:
– Pas d’efforts appliqué au voisinage de la fissure ;
– Pas de déformation d’origine thermique.
et en utilisant des expressions de σε et uε définies précédemment, le taux de restitution d’énergie
peut s’exprimer en élasticité pure :
G = Tr (σ∇U∇θ)dΩ −
Ω
We.di v(θ)dΩ
Ω
(2.38)
46